微积分学示例

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18} - 1)}^{5} d r$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用二项式定理。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} + 5 {(\frac{r^{3}}{18})}^{4} \cdot - 1 + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对 $\frac{r^{3}}{18}$ 运用乘积法则。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} + 5 \frac{{(r^{3})}^{4}}{18^{4}} \cdot - 1 + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.2

将 ${(r^{3})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} + 5 \frac{r^{3 \cdot 4}}{18^{4}} \cdot - 1 + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} + 5 \frac{r^{12}}{18^{4}} \cdot - 1 + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.3

对 $18$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} + 5 \frac{r^{12}}{104976} \cdot - 1 + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.4

组合 $5$ 和 $\frac{r^{12}}{104976}$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} + \frac{5 r^{12}}{104976} \cdot - 1 + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.5

乘以 $\frac{5 r^{12}}{104976} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

组合 $\frac{5 r^{12}}{104976}$ 和 $- 1$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} + \frac{5 r^{12} \cdot - 1}{104976} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} + \frac{- 5 r^{12}}{104976} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.6

将负号移到分数的前面。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.7

对 $\frac{r^{3}}{18}$ 运用乘积法则。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + 10 \frac{{(r^{3})}^{3}}{18^{3}} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.8

将 ${(r^{3})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + 10 \frac{r^{3 \cdot 3}}{18^{3}} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.8.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + 10 \frac{r^{9}}{18^{3}} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.9

对 $18$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + 10 \frac{r^{9}}{5832} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.10.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + 2 (5) \frac{r^{9}}{5832} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.10.2

从 $5832$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + 2 \cdot 5 \frac{r^{9}}{2 \cdot 2916} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.10.3

约去公因数。

解题步骤 1.2.10.4

重写表达式。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + 5 \frac{r^{9}}{2916} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.11

组合 $5$ 和 $\frac{r^{9}}{2916}$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} {(- 1)}^{2} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.12

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} \cdot 1 + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.13

将 $\frac{5 r^{9}}{2916}$ 乘以 $1$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + 10 {(\frac{r^{3}}{18})}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.14

对 $\frac{r^{3}}{18}$ 运用乘积法则。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + 10 \frac{{(r^{3})}^{2}}{18^{2}} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.15

将 ${(r^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.15.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + 10 \frac{r^{3 \cdot 2}}{18^{2}} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.15.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + 10 \frac{r^{6}}{18^{2}} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.16

对 $18$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + 10 \frac{r^{6}}{324} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.17

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.17.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + 2 (5) \frac{r^{6}}{324} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.17.2

从 $324$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + 2 \cdot 5 \frac{r^{6}}{2 \cdot 162} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.17.3

约去公因数。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + 2 \cdot 5 \frac{r^{6}}{2 \cdot 162} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.17.4

重写表达式。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + 5 \frac{r^{6}}{162} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.18

组合 $5$ 和 $\frac{r^{6}}{162}$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + \frac{5 r^{6}}{162} {(- 1)}^{3} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.19

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + \frac{5 r^{6}}{162} \cdot - 1 + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.20

乘以 $\frac{5 r^{6}}{162} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.20.1

组合 $\frac{5 r^{6}}{162}$ 和 $- 1$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + \frac{5 r^{6} \cdot - 1}{162} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.20.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} + \frac{- 5 r^{6}}{162} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.21

将负号移到分数的前面。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} - \frac{5 r^{6}}{162} + 5 \frac{r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.22

组合 $5$ 和 $\frac{r^{3}}{18}$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} - \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{5 r^{3}}{18} {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.23

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} - \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{5 r^{3}}{18} \cdot 1 + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.24

将 $\frac{5 r^{3}}{18}$ 乘以 $1$ 。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} - \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{5 r^{3}}{18} + {(- 1)}^{5}) d r$

解题步骤 1.2.25

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$\int r^{2} ({(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{5 r^{9}}{2916} - \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{5 r^{3}}{18} - 1) d r$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} + r^{2} (- \frac{5 r^{12}}{104976}) + r^{2} \frac{5 r^{9}}{2916} + r^{2} (- \frac{5 r^{6}}{162}) + r^{2} \frac{5 r^{3}}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + r^{2} \frac{5 r^{9}}{2916} + r^{2} (- \frac{5 r^{6}}{162}) + r^{2} \frac{5 r^{3}}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.2

乘以 $r^{2} \frac{5 r^{9}}{2916}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

组合 $r^{2}$ 和 $\frac{5 r^{9}}{2916}$ 。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{2} (5 r^{9})}{2916} + r^{2} (- \frac{5 r^{6}}{162}) + r^{2} \frac{5 r^{3}}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.2.2

通过指数相加将 $r^{2}$ 乘以 $r^{9}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1

移动 $r^{9}$ 。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{9} r^{2} \cdot 5}{2916} + r^{2} (- \frac{5 r^{6}}{162}) + r^{2} \frac{5 r^{3}}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{9 + 2} \cdot 5}{2916} + r^{2} (- \frac{5 r^{6}}{162}) + r^{2} \frac{5 r^{3}}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.2.2.3

将 $9$ 和 $2$ 相加。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} + r^{2} (- \frac{5 r^{6}}{162}) + r^{2} \frac{5 r^{3}}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + r^{2} \frac{5 r^{3}}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.4

乘以 $r^{2} \frac{5 r^{3}}{18}$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

组合 $r^{2}$ 和 $\frac{5 r^{3}}{18}$ 。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{2} (5 r^{3})}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.4.2

通过指数相加将 $r^{2}$ 乘以 $r^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.4.2.1

移动 $r^{3}$ 。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{3} r^{2} \cdot 5}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{3 + 2} \cdot 5}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.4.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} + r^{2} \cdot - 1 d r$

解题步骤 1.4.5

将 $- 1$ 移到 $r^{2}$ 的左侧。

$\int r^{2} {(\frac{r^{3}}{18})}^{5} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

对 $\frac{r^{3}}{18}$ 运用乘积法则。

$\int r^{2} \frac{{(r^{3})}^{5}}{18^{5}} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.2

将 ${(r^{3})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int r^{2} \frac{r^{3 \cdot 5}}{18^{5}} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.2.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\int r^{2} \frac{r^{15}}{18^{5}} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.3

对 $18$ 进行 $5$ 次方运算。

$\int r^{2} \frac{r^{15}}{1889568} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.4

乘以 $r^{2} \frac{r^{15}}{1889568}$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

组合 $r^{2}$ 和 $\frac{r^{15}}{1889568}$ 。

$\int \frac{r^{2} r^{15}}{1889568} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.4.2

通过指数相加将 $r^{2}$ 乘以 $r^{15}$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{r^{2 + 15}}{1889568} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.4.2.2

将 $2$ 和 $15$ 相加。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.5

乘以 $- r^{2} \frac{5 r^{12}}{104976}$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

组合 $\frac{5 r^{12}}{104976}$ 和 $r^{2}$ 。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{12} r^{2}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.5.2

通过指数相加将 $r^{12}$ 乘以 $r^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.5.2.1

移动 $r^{2}$ 。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 (r^{2} r^{12})}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{2 + 12}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.5.2.3

将 $2$ 和 $12$ 相加。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{14}}{104976} + \frac{r^{11} \cdot 5}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.6

将 $5$ 移到 $r^{11}$ 的左侧。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{14}}{104976} + \frac{5 \cdot r^{11}}{2916} - r^{2} \frac{5 r^{6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.7

乘以 $- r^{2} \frac{5 r^{6}}{162}$ 。

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解题步骤 1.5.7.1

组合 $\frac{5 r^{6}}{162}$ 和 $r^{2}$ 。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{14}}{104976} + \frac{5 r^{11}}{2916} - \frac{5 r^{6} r^{2}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.7.2

通过指数相加将 $r^{6}$ 乘以 $r^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.7.2.1

移动 $r^{2}$ 。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{14}}{104976} + \frac{5 r^{11}}{2916} - \frac{5 (r^{2} r^{6})}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{14}}{104976} + \frac{5 r^{11}}{2916} - \frac{5 r^{2 + 6}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.7.2.3

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{14}}{104976} + \frac{5 r^{11}}{2916} - \frac{5 r^{8}}{162} + \frac{r^{5} \cdot 5}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.8

将 $5$ 移到 $r^{5}$ 的左侧。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{14}}{104976} + \frac{5 r^{11}}{2916} - \frac{5 r^{8}}{162} + \frac{5 \cdot r^{5}}{18} - 1 \cdot r^{2} d r$

解题步骤 1.5.9

将 $- 1 r^{2}$ 重写为 $- r^{2}$ 。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} - \frac{5 r^{14}}{104976} + \frac{5 r^{11}}{2916} - \frac{5 r^{8}}{162} + \frac{5 r^{5}}{18} - r^{2} d r$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{r^{17}}{1889568} d r + \int - \frac{5 r^{14}}{104976} d r + \int \frac{5 r^{11}}{2916} d r + \int - \frac{5 r^{8}}{162} d r + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{1889568}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{1}{1889568}$ 移到积分外。

$\frac{1}{1889568} \int r^{17} d r + \int - \frac{5 r^{14}}{104976} d r + \int \frac{5 r^{11}}{2916} d r + \int - \frac{5 r^{8}}{162} d r + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 4

根据幂法则， $r^{17}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{1}{18} r^{18}$ 。

$\frac{1}{1889568} (\frac{1}{18} r^{18} + C) + \int - \frac{5 r^{14}}{104976} d r + \int \frac{5 r^{11}}{2916} d r + \int - \frac{5 r^{8}}{162} d r + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{1889568} (\frac{1}{18} r^{18} + C) - \int \frac{5 r^{14}}{104976} d r + \int \frac{5 r^{11}}{2916} d r + \int - \frac{5 r^{8}}{162} d r + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 6

由于 $\frac{5}{104976}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{5}{104976}$ 移到积分外。

$\frac{1}{1889568} (\frac{1}{18} r^{18} + C) - (\frac{5}{104976} \int r^{14} d r) + \int \frac{5 r^{11}}{2916} d r + \int - \frac{5 r^{8}}{162} d r + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 7

根据幂法则， $r^{14}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{1}{15} r^{15}$ 。

$\frac{1}{1889568} (\frac{1}{18} r^{18} + C) - \frac{5}{104976} (\frac{1}{15} r^{15} + C) + \int \frac{5 r^{11}}{2916} d r + \int - \frac{5 r^{8}}{162} d r + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 8

由于 $\frac{5}{2916}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{5}{2916}$ 移到积分外。

$\frac{1}{1889568} (\frac{1}{18} r^{18} + C) - \frac{5}{104976} (\frac{1}{15} r^{15} + C) + \frac{5}{2916} \int r^{11} d r + \int - \frac{5 r^{8}}{162} d r + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 9

根据幂法则， $r^{11}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{1}{12} r^{12}$ 。

$\frac{1}{1889568} (\frac{1}{18} r^{18} + C) - \frac{5}{104976} (\frac{1}{15} r^{15} + C) + \frac{5}{2916} (\frac{1}{12} r^{12} + C) + \int - \frac{5 r^{8}}{162} d r + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{1889568} (\frac{1}{18} r^{18} + C) - \frac{5}{104976} (\frac{1}{15} r^{15} + C) + \frac{5}{2916} (\frac{1}{12} r^{12} + C) - \int \frac{5 r^{8}}{162} d r + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 11

由于 $\frac{5}{162}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{5}{162}$ 移到积分外。

$\frac{1}{1889568} (\frac{1}{18} r^{18} + C) - \frac{5}{104976} (\frac{1}{15} r^{15} + C) + \frac{5}{2916} (\frac{1}{12} r^{12} + C) - (\frac{5}{162} \int r^{8} d r) + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 12

根据幂法则， $r^{8}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{1}{9} r^{9}$ 。

$\frac{1}{1889568} (\frac{1}{18} r^{18} + C) - \frac{5}{104976} (\frac{1}{15} r^{15} + C) + \frac{5}{2916} (\frac{1}{12} r^{12} + C) - \frac{5}{162} (\frac{1}{9} r^{9} + C) + \int \frac{5 r^{5}}{18} d r + \int - r^{2} d r$

解题步骤 13

由于 $\frac{5}{18}$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $\frac{5}{18}$ 移到积分外。

解题步骤 14

根据幂法则， $r^{5}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{1}{6} r^{6}$ 。

解题步骤 15

由于 $- 1$ 对于 $r$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

解题步骤 16

根据幂法则， $r^{2}$ 对 $r$ 的积分是 $\frac{1}{3} r^{3}$ 。

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

化简。

$\frac{r^{18}}{34012224} - \frac{r^{15}}{314928} + \frac{5 r^{12}}{34992} - \frac{5 r^{9}}{1458} + \frac{5 r^{6}}{108} - (\frac{1}{3} r^{3}) + C$

解题步骤 17.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $r^{3}$ 。

$\frac{r^{18}}{34012224} - \frac{r^{15}}{314928} + \frac{5 r^{12}}{34992} - \frac{5 r^{9}}{1458} + \frac{5 r^{6}}{108} - \frac{r^{3}}{3} + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$\frac{1}{34012224} r^{18} - \frac{1}{314928} r^{15} + \frac{5}{34992} r^{12} - \frac{5}{1458} r^{9} + \frac{5}{108} r^{6} - \frac{1}{3} r^{3} + C$

微积分学 示例

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