微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{- 2} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $1$ 处和在 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处的值。

$(- 1^{- 1}) + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$- 1 \cdot 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

解题步骤 4.2.3

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.2

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 5.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.4.1

约去公因数。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.6.4.2

重写表达式。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.2.6.5

计算指数。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- 1 + \sqrt{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 1 + \sqrt{2}$

小数形式：

$0.41421356 \dots$

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