微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) - \cos (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \cos (x) d x$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

代入并化简。

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解题步骤 5.1.1

计算 $- \cos (x)$ 在 $\frac{5 π}{4}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$(- \cos (\frac{5 π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

解题步骤 5.1.2

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{5 π}{4}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 5.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- - \cos (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.3.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.3.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \sin (\frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.3.4.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.3.6

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.3.7

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 5.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 5.3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 5.3.7.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.8

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 5.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.8.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.10

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

解题步骤 5.3.11

要将 $\sqrt{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.3.12

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.3.14

重新排序 $\sqrt{2} \cdot 2$ 的因式。

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.3.15

将 $2 \sqrt{2}$ 和 $2 \sqrt{2}$ 相加。

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $4 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 6.2.4

用 $2 \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$2 \sqrt{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \sqrt{2}$

小数形式：

$2.82842712 \dots$

微积分学 示例

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