微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

解题步骤 1

应用归约公式。

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

解题步骤 2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

计算 $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 3.1.2

计算 $\ln (| \sin (x) |)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 3.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1

要将 $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.1.3.2

组合 $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.1.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.1.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

解题步骤 3.2.2

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

解题步骤 3.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

解题步骤 3.2.4

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

解题步骤 3.2.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

解题步骤 3.2.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

解题步骤 3.2.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

解题步骤 3.2.8

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

解题步骤 3.2.9

从 $0$ 中减去 $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

解题步骤 3.2.10

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.10.1

从 $- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

解题步骤 3.2.10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

解题步骤 3.2.10.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.10.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

解题步骤 3.2.10.2.4

用 $- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 约为 $0.70710678$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 3.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

小数形式：

$0.15342640 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例