微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} x \cos (4 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (4 x)$ 。

$x (\frac{1}{4} \sin (4 x))]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (4 x)$ 。

$x \frac{\sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{\sin (4 x)}{4}$ 。

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (4 x) d x)$

解题步骤 4

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

解题步骤 4.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$u_{lower} = π$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 \frac{π}{3}$

解题步骤 4.5

组合 $4$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

解题步骤 5

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \frac{\sin (u)}{4} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

解题步骤 7.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

解题步骤 8

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{x \sin (4 x)}{4}$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

解题步骤 9.2

计算 $- \cos (u)$ 在 $\frac{4 π}{3}$ 处和在 $π$ 处的值。

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{\frac{π}{3} \sin (\frac{4 π}{3})}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.2

组合 $\frac{π}{3}$ 和 $\sin (\frac{4 π}{3})$ 。

$\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.3

将 $\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4}$ 重写为乘积形式。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.4

将 $\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3 \cdot 4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.6

组合 $4$ 和 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.7.1

约去公因数。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.7.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (π)}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.8

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $\sin (π)$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.9

将 $\frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4}$ 重写为乘积形式。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - (\frac{π \sin (π)}{4} \cdot \frac{1}{4}) - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.10

将 $\frac{π \sin (π)}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.11

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

解题步骤 9.3.12

要将 $- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot \frac{12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 9.3.13

组合 $- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} + \frac{- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 9.3.14

在公分母上合并分子。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 9.3.15

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - 12 (\frac{1}{16}) (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 9.3.16

组合 $- 12$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 12}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 9.3.17

约去 $- 12$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.17.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 (- 3)}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 9.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.17.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 9.3.17.2.2

约去公因数。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 9.3.17.2.3

重写表达式。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 9.3.18

将负号移到分数的前面。

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\frac{π (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{π (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.3

组合 $π$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.4

化简每一项。

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解题步骤 10.1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \cos (\frac{π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.4.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.4.3

乘以 $- - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 10.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (1 (\frac{1}{2}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.4.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.4.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - \cos (0))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.4.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.8

化简分子。

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解题步骤 10.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.10

乘以 $- \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 10.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + 1 (\frac{3}{4}) \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.10.2

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.10.3

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4 \cdot 2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.10.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.11

要将 $- \frac{π \sqrt{3}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 10.1.12.1

将 $\frac{π \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.12.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{8} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.13

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- π \sqrt{3} \cdot 4 + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.1.14

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.3

乘以 $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12}$ 。

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解题步骤 10.3.1

将 $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}$ 乘以 $\frac{1}{12}$ 。

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8 \cdot 12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.3.2

将 $8$ 乘以 $12$ 。

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.4

从 $- 4 π \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.5

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.6

从 $- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.7

将 $- (4 π \sqrt{3} - 3)$ 重写为 $- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)$ 。

$\frac{- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

解题步骤 10.9

化简分子。

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解题步骤 10.9.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (0)}{16}$

解题步骤 10.9.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \cdot 0}{16}$

解题步骤 10.10

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{0}{16}$

解题步骤 10.11

用 $0$ 除以 $16$ 。

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - 0$

解题步骤 11

从 $- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$ 中减去 $0$ 。

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

小数形式：

$- 0.19547492 \dots$

微积分学 示例

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