微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (x) - \tan (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \tan (x) d x$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \tan (x) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) d x$

解题步骤 4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

代入并化简。

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解题步骤 5.1.1

计算 $- \cos (x)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$(- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 5.1.2

计算 $\ln (| \sec (x) |)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 5.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 5.2.3

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 5.2.4

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| 2 |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |))$

解题步骤 5.2.5

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \frac{2}{\sqrt{2}} |})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2}{\sqrt{2}} |})$

解题步骤 5.3.2

化简分母。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |})$

解题步骤 5.3.2.2

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |})$

解题步骤 5.3.2.2.6.5

计算指数。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 5.3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.3.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 5.3.2.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \sqrt{2} |})$

解题步骤 5.3.2.4

$\sqrt{2}$ 约为 $1.41421356$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

小数形式：

$- 0.13946680 \dots$

微积分学 示例

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