微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = \sec (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 2.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.3.3

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.5

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.5.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.3.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.6.4.1

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.5.6.4.2

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.3.5.6.5

计算指数。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.1

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.6.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$u_{lower} = \sqrt{2}$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = \sec (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.5.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.5.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.5.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.6.4.1

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.3.6.4.2

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.5.3.6.5

计算指数。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.5.4.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$u_{upper} = \sqrt{2}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} u d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{u^{2}}{2}$ 在 $\sqrt{2}$ 处和在 $\sqrt{2}$ 处的值。

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.1

约去公因数。

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.1.4.2

重写表达式。

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.1.5

计算指数。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.2.2

重写表达式。

$2 (1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

解题步骤 5.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

解题步骤 5.2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

解题步骤 5.2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

约去公因数。

$2 (1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

解题步骤 5.2.3.4.2

重写表达式。

$2 (1 - \frac{2^{1}}{2})$

解题步骤 5.2.3.5

计算指数。

$2 (1 - \frac{2}{2})$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$2 (1 - \frac{2}{2})$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$2 (1 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (1 - 1)$

解题步骤 5.2.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 \cdot 0$

解题步骤 5.2.7

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0$

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