微积分学示例

$\int \sec^{2} (x) \ln (e^{\tan (x)}) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用对数规则把 $\tan (x)$ 移到指数外部。

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \ln (e)) d x$

解题步骤 1.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \cdot 1) d x$

解题步骤 1.3

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 4

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

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