微积分学示例

$\int u^{6} v (2 + u^{7}) d u$

解题步骤 1

由于 $v$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $v$ 移到积分外。

$v \int u^{6} (2 + u^{7}) d u$

解题步骤 2

展开 $u^{6} (2 + u^{7})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$v \int u^{6} \cdot 2 + u^{6} u^{7} d u$

解题步骤 2.2

将 $u^{6}$ 和 $2$ 重新排序。

$v \int 2 \cdot u^{6} + u^{6} u^{7} d u$

解题步骤 2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v \int 2 u^{6} + u^{6 + 7} d u$

解题步骤 2.4

将 $6$ 和 $7$ 相加。

$v \int 2 u^{6} + u^{13} d u$

解题步骤 2.5

将 $2 u^{6}$ 和 $u^{13}$ 重新排序。

$v \int u^{13} + 2 u^{6} d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$v (\int u^{13} d u + \int 2 u^{6} d u)$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{13}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{14} u^{14}$ 。

$v (\frac{1}{14} u^{14} + C + \int 2 u^{6} d u)$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$v (\frac{1}{14} u^{14} + C + 2 \int u^{6} d u)$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{6}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$v (\frac{1}{14} u^{14} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简。

$v (\frac{u^{14}}{14} + \frac{2 u^{7}}{7}) + C$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$v (\frac{1}{14} u^{14} + \frac{2}{7} u^{7}) + C$

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