微积分学示例

$\int \sqrt{x^{2} + 10 x} d x$

解题步骤 1

配方。

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解题步骤 1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

解题步骤 1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{5}{1}$

解题步骤 1.3.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$d = 5$

解题步骤 1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{100}{4}$

解题步骤 1.4.2.1.3

用 $100$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 25$

解题步骤 1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$e = 0 - 25$

解题步骤 1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $25$ 。

$e = - 25$

解题步骤 1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + 5)}^{2} - 25$ 。

$\int \sqrt{{(x + 5)}^{2} - 25} d x$

解题步骤 2

使 $u = x + 5$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u^{2} - 25} d u$

解题步骤 3

使 $u = 5 \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $5 \sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简 $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ 。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

对 $5 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.1.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.1.2

从 $25 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.1.3

从 $- 25$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.1.4

从 $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ 中分解出因数 $25$ 。

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.1.6

将 $25 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(5 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int 5 \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\int 25 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4.2.2

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

解题步骤 4.2.3

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 25 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 4.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 25 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 5

由于 $25$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $25$ 移到积分外。

$25 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 6

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 7

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$25 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$25 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 8.2

化简每一项。

$25 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$25 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$25 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 11

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 12

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 13

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

解题步骤 14

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 15

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 17

化简表达式。

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解题步骤 17.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 17.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

解题步骤 18

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

解题步骤 19

通过相乘进行化简。

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解题步骤 19.1

将幂重写为乘积形式。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 19.2

运用分配律。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 19.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 20

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 21

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 24

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

解题步骤 25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

解题步骤 26

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 27

将单个积分拆分为多个积分。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 28

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 29

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 30

通过相乘进行化简。

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解题步骤 30.1

运用分配律。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 30.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 31

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

解题步骤 32

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

解题步骤 33

化简。

$25 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 34

化简。

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解题步骤 34.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$25 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 34.2

将 $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 和 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 相加。

$25 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 34.3

组合 $25$ 和 $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ 。

$\frac{25 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

解题步骤 35

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 35.1

使用 $arcsec (\frac{u}{5})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{u}{5})) \tan (arcsec (\frac{u}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{5})) + \tan (arcsec (\frac{u}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 35.2

使用 $x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36

化简。

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解题步骤 36.1

化简每一项。

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解题步骤 36.1.1

正割函数和反正割函数互为反函数。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.2

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (\frac{x + 5}{5})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (arcsec (\frac{x + 5}{5}))$ 为 $\sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1}$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x + 5}{5}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.5

化简。

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解题步骤 36.1.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.5.3

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.5.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.5.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.5.6

在公分母上合并分子。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.5.7

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ 。

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解题步骤 36.1.5.7.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.5.7.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.5.7.3

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.6

将 $\frac{x + 10}{5}$ 乘以 $\frac{x}{5}$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.7

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.8

将 $\frac{(x + 10) x}{25}$ 重写为 ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ 。

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解题步骤 36.1.8.1

从 $(x + 10) x$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.8.2

从 $25$ 中因式分解出完全幂数 $5^{2}$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.8.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.9

从根式下提出各项。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.10

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{25 (\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.11

乘以 $\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5}$ 。

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解题步骤 36.1.11.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{x + 5}{5}$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5 \cdot 5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.11.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{25 (\frac{x + 5}{25} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.12

组合 $\frac{x + 5}{25}$ 和 $\sqrt{(x + 10) x}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13

化简每一项。

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解题步骤 36.1.13.1

正割函数和反正割函数互为反函数。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.2

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x + 5}{5}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.5

化简。

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解题步骤 36.1.13.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.5.3

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.5.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.5.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.5.6

在公分母上合并分子。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.5.7

以因式分解的形式重写 $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ 。

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解题步骤 36.1.13.5.7.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.5.7.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.5.7.3

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.6

将 $\frac{x + 10}{5}$ 乘以 $\frac{x}{5}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.7

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.8

将 $\frac{(x + 10) x}{25}$ 重写为 ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ 。

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解题步骤 36.1.13.8.1

从 $(x + 10) x$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.8.2

从 $25$ 中因式分解出完全幂数 $5^{2}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.8.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.9

从根式下提出各项。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.13.10

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\sqrt{(x + 10) x}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.14

在公分母上合并分子。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.15

将 $x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{x (x + 10)}}{5} |))}{2} + C$

解题步骤 36.1.16

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}))}{2} + C$

解题步骤 36.2

要将 $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot \frac{25}{25})}{2} + C$

解题步骤 36.3

组合 $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ 和 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} + \frac{- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25})}{2} + C$

解题步骤 36.4

在公分母上合并分子。

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

解题步骤 36.5

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 36.5.1

约去公因数。

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

解题步骤 36.5.2

重写表达式。

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{2} + C$

解题步骤 36.6

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

解题步骤 36.7

将 $(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ 中的因式重新排序。

$\frac{\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

解题步骤 37

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{1}{5} | x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |)) + C$

微积分学 示例

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