微积分学示例

$\int \csc^{4} (\frac{x}{4}) d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{x}{4}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{4} d x$ ，以便 $4 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{x}{4}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{x}{4}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{4}$ 。

$\int \csc^{4} (u) (1 \cdot 4) d u$

解题步骤 2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\int \csc^{4} (u) \cdot 4 d u$

解题步骤 2.3

将 $4$ 移到 $\csc^{4} (u)$ 的左侧。

$\int 4 \csc^{4} (u) d u$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \csc^{4} (u) d u$

解题步骤 4

应用归约公式。

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

解题步骤 5

因为 $- \cot (u)$ 的导数为 $\csc^{2} (u)$ ，所以 $\csc^{2} (u)$ 的积分为 $- \cot (u)$ 。

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

解题步骤 6

将 $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ 重写为 $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ 。

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

解题步骤 7

使用 $\frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}) + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

解题步骤 8.2

乘以 $4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3})$ 。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}$ 。

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

解题步骤 8.3

乘以 $4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3})$ 。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} - 4 \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

解题步骤 8.3.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}$ 。

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 4 (2 \cot (\frac{x}{4}))}{3} + C$

解题步骤 8.3.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

解题步骤 8.4

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

解题步骤 8.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$- \frac{4}{3} \cot (\frac{1}{4} x) \csc^{2} (\frac{1}{4} x) - \frac{8}{3} \cot (\frac{1}{4} x) + C$

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