微积分学示例

$\int \frac{\csc (x) \cos (x)}{\sin (x)} d x$

解题步骤 1

分离分数。

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\sin (x)} d x$

解题步骤 2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)} d x$

解题步骤 3

将 $\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{\cos (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) d x$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x) \sin (x)} d x$

解题步骤 4.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin (x) \sin (x)} d x$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} d x$

解题步骤 5.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} d x$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \cos (x) \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} d x$

解题步骤 5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 6.2

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} d x$

解题步骤 7

分离分数。

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

解题步骤 8

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot (x) d x$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\int \csc (x) \cot (x) d x$

解题步骤 10

因为 $- \csc (x)$ 的导数为 $\csc (x) \cot (x)$ ，所以 $\csc (x) \cot (x)$ 的积分为 $- \csc (x)$ 。

$- \csc (x) + C$

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