微积分学示例

$\int \frac{\ln (x^{2})}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$ 重写为 $\frac{2 \ln (x)}{x^{2}}$ 。

$\int \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \int \ln (x) x^{- 2} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{- 2}$ 。

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

解题步骤 5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

解题步骤 5.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

解题步骤 5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

解题步骤 5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 7.1.2

将 $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 7.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x)$

解题步骤 7.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x)$

解题步骤 7.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$

解题步骤 9

将 $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$ 重写为 $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$

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