微积分学示例

$\int_{\frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 4

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$u_{lower} = π$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 5

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{π}^{0} \cos (u) d u)$

解题步骤 7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $t$ 在 $0$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

解题步骤 8.2

计算 $\sin (u)$ 在 $0$ 处和在 $π$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (π)))$

解题步骤 8.3

从 $0$ 中减去 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (π)))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (π)))$

解题步骤 9.2

从 $0$ 中减去 $\sin (π)$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (π)))$

解题步骤 9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (π)$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

解题步骤 10.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

解题步骤 10.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - 0)$

解题步骤 10.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + 0)$

解题步骤 10.4

将 $- \frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$

解题步骤 10.5

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 10.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{2}$ 。

$- \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{π}{4}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{π}{4}$

小数形式：

$- 0.78539816 \dots$

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