微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

解题步骤 1

由于 $4 π$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4 π$ 移到积分外。

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

代入并化简。

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解题步骤 6.1.1

计算 $x$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $- \frac{π}{3}$ 处的值。

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

解题步骤 6.1.2

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $- \frac{π}{3}$ 处的值。

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

在公分母上合并分子。

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

解题步骤 6.1.3.2

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

解题步骤 6.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

解题步骤 6.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

解题步骤 6.3.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

解题步骤 6.3.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

解题步骤 6.3.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

解题步骤 6.3.5

在公分母上合并分子。

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 6.3.6

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 6.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.7.1

约去公因数。

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 6.3.7.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

解题步骤 6.3.8

运用分配律。

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

解题步骤 6.3.9

乘以 $4 π \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 6.3.9.1

组合 $\frac{2 π}{3}$ 和 $4$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

解题步骤 6.3.9.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

解题步骤 6.3.9.3

组合 $\frac{8 π}{3}$ 和 $π$ 。

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

解题步骤 6.3.9.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

解题步骤 6.3.9.5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

解题步骤 6.3.9.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

解题步骤 6.3.9.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

解题步骤 6.3.10

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

小数形式：

$4.55335269 \dots$

微积分学 示例

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