微积分学示例

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} (x) - (\sin (x)) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

代入并化简。

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解题步骤 5.1.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $π$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

解题步骤 5.1.2

计算 $- \cos (x)$ 在 $π$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

解题步骤 5.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π^{2}$ 。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

解题步骤 5.2.2

将 $- \cos (π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

解题步骤 5.2.4

将 $\cos (π)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $\frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

解题步骤 5.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

解题步骤 5.3.3

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $\frac{π^{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

解题步骤 5.3.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

解题步骤 5.3.4

要将 $\frac{π^{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

解题步骤 5.3.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $\frac{π^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

解题步骤 5.3.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

解题步骤 5.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

解题步骤 5.3.7

从 $π^{2} \cdot 4$ 中减去 $π^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.7.1

将 $π^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

解题步骤 5.3.7.2

从 $4 \cdot π^{2}$ 中减去 $π^{2}$ 。

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

解题步骤 6.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

小数形式：

$2.70110165 \dots$

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