微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) - \sin (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

解题步骤 2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 2.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = - π$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

解题步骤 2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

解题步骤 3

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

解题步骤 5

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \sin (x) d x$

解题步骤 7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $- π$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

解题步骤 8.2

计算 $- \cos (x)$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 8.3

去掉圆括号。

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 9.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 10.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 10.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 10.4

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 10.5

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 10.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 10.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 10.6

化简每一项。

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解题步骤 10.6.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 10.6.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{2}))$

解题步骤 10.6.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

解题步骤 10.7

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{4} - - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10.8

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 10.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10.8.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10.9

要将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 10.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 10.10.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 10.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{4}$

解题步骤 10.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{4}$

解题步骤 10.12

重新排序 $\sqrt{3} \cdot 2$ 的因式。

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 10.13

将 $\sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

小数形式：

$1.29903810 \dots$

微积分学 示例

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