微积分学示例

$\int \frac{x}{{(\frac{3}{2} y - x)}^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{3}{2} y - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{3}{2} y - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{3}{2} y - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y - x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $\frac{3}{2} y - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $\frac{3}{2} y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{2} y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- (- u + \frac{3 y}{2})}{u^{2}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int - (\frac{2}{2} \cdot \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}) d u$

解题步骤 2.3

合并。

$\int - \frac{2 (- u + \frac{3 y}{2})}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$\int - \frac{2 (- u) + 3 y}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int - \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- 2 u + 3 y}{u^{2}} d u)$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{- 2} d u$

解题步骤 6

展开 $(- 2 u + 3 y) u^{- 2}$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$- \frac{1}{2} \int - 2 u \cdot u^{- 2} + 3 y u^{- 2} d u$

解题步骤 6.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} \int - 2 (u^{1} u^{- 2}) + 3 y u^{- 2} d u$

解题步骤 6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{1 - 2} + 3 y u^{- 2} d u$

解题步骤 6.4

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{- 1} + 3 y u^{- 2} d u$

解题步骤 6.5

将 $- 2 u^{- 1}$ 和 $3 y u^{- 2}$ 重新排序。

$- \frac{1}{2} \int 3 y u^{- 2} - 2 u^{- 1} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$- \frac{1}{2} (\int 3 y u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

解题步骤 8

由于 $3 y$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3 y$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} (3 y \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 1} d u)$

解题步骤 10

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 1} d u)$

解题步骤 11

$u^{- 1}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 12

化简。

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{u} - 2 \ln (| u |)) + C$

解题步骤 13

使用 $\frac{3}{2} y - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{\frac{3}{2} y - x} - 2 \ln (| \frac{3}{2} y - x |)) + C$

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