微积分学示例

$\int \sqrt{x} \ln (x^{2}) d x$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x} \ln (x^{2})$ 重写为 $\sqrt{x} (2 \ln (x))$ 。

$\int \sqrt{x} (2 \ln (x)) d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \sqrt{x} (\ln (x)) d x$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = \sqrt{x}$ 。

$2 (\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4.4

将 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 x} d x)$

解题步骤 4.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{1}$ 移动到分子。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}{3} d x)$

解题步骤 4.6

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.6.1

移动 $x^{- 1}$ 。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}{3} d x)$

解题步骤 4.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 4.6.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 4.6.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 4.6.5

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 4.6.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 4.6.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} d x)$

解题步骤 5

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x))$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

解题步骤 7.2

将 $2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$ 重写为 $2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$ 。

$2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$2 (\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}) + C$

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