微积分学示例

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 1

分解分数 $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ 成为两个分数。

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 3

使 $u = - 1 - v^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 v d v$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = v d v$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = - 1 - v^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d v}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 1 - v^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

解题步骤 3.1.2

求微分。

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解题步骤 3.1.2.1

根据加法法则， $- 1 - v^{2}$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ 。

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

解题步骤 3.1.2.2

因为 $- 1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $- v^{2}$ 对 $v$ 的导数是 $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 v)$

解题步骤 3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 v$

解题步骤 3.1.4

从 $0$ 中减去 $2 v$ 。

$- 2 v$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 4.3

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 8

从 $- 1 - v^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

解题步骤 8.2

从 $- 1 \cdot 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

解题步骤 8.3

从 $- v^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

解题步骤 8.4

从 $- 1 (1) - (v^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $- 1 (1 + v^{2})$ 重写为 $- (1 + v^{2})$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

解题步骤 9.2

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

解题步骤 9.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

解题步骤 11

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

解题步骤 12

$\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ 对 $v$ 的积分为 $\arctan (v) + C$ 。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

解题步骤 13

化简。

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

解题步骤 14

使用 $- 1 - v^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$

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