微积分学示例

$\int \sqrt{3 + s} {(s + 1)}^{2} d s$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = {(s + 1)}^{2}$ ， $d v = \sqrt{3 + s}$ 。

${(s + 1)}^{2} (\frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(3 + s)}^{\frac{3}{2}}$ 。

${(s + 1)}^{2} \frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

解题步骤 2.2

组合 ${(s + 1)}^{2}$ 和 $\frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{{(s + 1)}^{2} (2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 ${(s + 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

解题步骤 3

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $s$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s)$

解题步骤 4

使 $u = 3 + s$ 。然后使 $d u = d s$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 3 + s$ 。求 $\frac{d u}{d s}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $3 + s$ 求导。

$\frac{d}{d s} [3 + s]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $3 + s$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$ 。

$\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$

解题步骤 4.1.3

因为 $3$ 对于 $s$ 是常数，所以 $3$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d s} [s]$

解题步骤 4.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 等于 $n s^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 4.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2) d u$

解题步骤 5

展开 $u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2)$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3 + 2) d u$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u) + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

解题步骤 5.4

将 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

解题步骤 5.5

移动 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

解题步骤 5.6

将 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.7

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 (u^{\frac{3}{2}} u^{1}) + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + 1} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.10

在公分母上合并分子。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.11

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.12

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 6 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5.13

将 $- 6 u^{\frac{3}{2}}$ 和 $2 u^{\frac{3}{2}}$ 相加。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 4 u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\int 2 u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{\frac{5}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 9

由于 $- 4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

要将 $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} + C$

解题步骤 11.2.2

组合 $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 11.2.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 11.2.5

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 11.2.6

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 11.2.7

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.7.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 11.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 11.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 11.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 11.2.7.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 12

使用 $3 + s$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 {(3 + s)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 {(3 + s)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1}{3} (2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4}{7} {(3 + s)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(3 + s)}^{\frac{5}{2}})) + C$

微积分学 示例

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