微积分学示例

$\int \sqrt{539 + 49 x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sqrt{11} \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{11} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t) \sqrt{11}$ 为正数。

$\int \sqrt{{(7 \sqrt{11})}^{2} + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(7 \sqrt{11})}^{2} + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $7 \sqrt{11}$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{7^{2} {\sqrt{11}}^{2} + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \sqrt{49 {\sqrt{11}}^{2} + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt{49 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{49 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \sqrt{49 \cdot 11^{\frac{2}{2}} + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.4.1

约去公因数。

$\int \sqrt{49 \cdot 11^{\frac{2}{2}} + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.4.2

重写表达式。

$\int \sqrt{49 \cdot 11^{1} + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.3.5

计算指数。

$\int \sqrt{49 \cdot 11 + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.4

将 $49$ 乘以 $11$ 。

$\int \sqrt{539 + 49 {(\sqrt{11} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.5

对 $\sqrt{11} \tan (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{539 + 49 ({\sqrt{11}}^{2} \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.6

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 2.1.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt{539 + 49 ({(11^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{539 + 49 (11^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \sqrt{539 + 49 (11^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.6.4.1

约去公因数。

$\int \sqrt{539 + 49 (11^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.6.4.2

重写表达式。

$\int \sqrt{539 + 49 (11^{1} \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.6.5

计算指数。

$\int \sqrt{539 + 49 (11 \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.1.7

将 $11$ 乘以 $49$ 。

$\int \sqrt{539 + 539 \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $539$ 中分解出因数 $539$ 。

$\int \sqrt{539 (1) + 539 \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $539 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $539$ 。

$\int \sqrt{539 (1) + 539 (\tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $539 (1) + 539 (\tan^{2} (t))$ 中分解出因数 $539$ 。

$\int \sqrt{539 (1 + \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.5

重新整理项。

$\int \sqrt{539 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.6

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{539 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.7

将 $539 \sec^{2} (t)$ 重写为 ${(7 \sec (t))}^{2} \cdot 11$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

从 $539$ 中分解出因数 $49$ 。

$\int \sqrt{49 (11) \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.7.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\int \sqrt{7^{2} \cdot 11 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.7.3

移动 $11$ 。

$\int \sqrt{7^{2} \sec^{2} (t) \cdot 11} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.7.4

将 $7^{2} \sec^{2} (t)$ 重写为 ${(7 \sec (t))}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} \cdot 11} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.1.8

从根式下提出各项。

$\int 7 \sec (t) \sqrt{11} (\sec^{2} (t) \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 7 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) \sqrt{11} \sqrt{11} d t$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 7 {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{11} \sqrt{11} d t$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 7 \sec^{3} (t) \sqrt{11} \sqrt{11} d t$

解题步骤 2.2.4

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 7 \sec^{3} (t) ({\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}) d t$

解题步骤 2.2.5

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 7 \sec^{3} (t) ({\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}) d t$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 7 \sec^{3} (t) {\sqrt{11}}^{1 + 1} d t$

解题步骤 2.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 7 \sec^{3} (t) {\sqrt{11}}^{2} d t$

解题步骤 2.2.8

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 2.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 7 \sec^{3} (t) {(11^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

解题步骤 2.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 7 \sec^{3} (t) \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int 7 \sec^{3} (t) \cdot 11^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 2.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.4.1

约去公因数。

$\int 7 \sec^{3} (t) \cdot 11^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 2.2.8.4.2

重写表达式。

$\int 7 \sec^{3} (t) \cdot 11^{1} d t$

解题步骤 2.2.8.5

计算指数。

$\int 7 \sec^{3} (t) \cdot 11 d t$

解题步骤 2.2.9

将 $11$ 乘以 $7$ 。

$\int 77 \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 3

由于 $77$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $77$ 移到积分外。

$77 \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 4

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$77 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

解题步骤 6

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 7

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 9.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

解题步骤 10

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

解题步骤 11

通过相乘进行化简。

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解题步骤 11.1

将幂重写为乘积形式。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 11.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 12

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 13

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 16

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

解题步骤 17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

解题步骤 18

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$77 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 19

将单个积分拆分为多个积分。

$77 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 20

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$77 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 21

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$77 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 22

通过相乘进行化简。

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解题步骤 22.1

运用分配律。

$77 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 22.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$77 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 23

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$77 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

解题步骤 24

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$77 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

解题步骤 25

化简。

$77 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 26

组合 $77$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{77}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 27

使用 $\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{77}{2} (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28

化简。

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解题步骤 28.1

化简每一项。

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解题步骤 28.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{x}{\sqrt{11}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{x}{\sqrt{11}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}}))$ 为 $\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{11}})}^{2}}$ 。

$\frac{77}{2} (\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{11}})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.2

对 $\frac{x}{\sqrt{11}}$ 运用乘积法则。

$\frac{77}{2} (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{{\sqrt{11}}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.3

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 28.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{77}{2} (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{77}{2} (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{77}{2} (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{11^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{77}{2} (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{11^{\frac{2}{2}}}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{77}{2} (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{11^{1}}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.3.5

计算指数。

$\frac{77}{2} (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{11}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{77}{2} (\sqrt{\frac{11}{11} + \frac{x^{2}}{11}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{77}{2} (\sqrt{\frac{11 + x^{2}}{11}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.6

将 $\sqrt{\frac{11 + x^{2}}{11}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{11 + x^{2}}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}}}{\sqrt{11}} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.7

正切和余切互为反函数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{x}{\sqrt{11}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.8

合并。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{\sqrt{11} \sqrt{11}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.9

化简分母。

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解题步骤 28.1.9.1

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.9.2

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{{\sqrt{11}}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.10

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 28.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.1.10.4.1

约去公因数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11^{\frac{2}{2}}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.10.4.2

重写表达式。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11^{1}} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.10.5

计算指数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11

化简每一项。

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解题步骤 28.1.11.1

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{11}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.2

将 $\frac{x}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3

合并和化简分母。

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解题步骤 28.1.11.3.1

将 $\frac{x}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.2

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.3

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.6

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 28.1.11.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.1.11.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{11^{1}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.3.6.5

计算指数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{11}}{11})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 28.1.11.4.1

对 $\frac{x \sqrt{11}}{11}$ 运用乘积法则。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{11})}^{2}}{11^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.4.2

对 $x \sqrt{11}$ 运用乘积法则。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{11}}^{2}}{11^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.5

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 28.1.11.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2} {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{11^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{11^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 11^{\frac{2}{2}}}{11^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.1.11.5.4.1

约去公因数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 11^{\frac{2}{2}}}{11^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.5.4.2

重写表达式。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 11^{1}}{11^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.5.5

计算指数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 11}{11^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.6

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 11}{121}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.7

约去 $11$ 和 $121$ 的公因数。

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解题步骤 28.1.11.7.1

从 $x^{2} \cdot 11$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{11 \cdot x^{2}}{121}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.7.2

约去公因数。

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解题步骤 28.1.11.7.2.1

从 $121$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{11 \cdot x^{2}}{11 \cdot 11}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.7.2.2

约去公因数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{11 \cdot x^{2}}{11 \cdot 11}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.7.2.3

重写表达式。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{11}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{\frac{11}{11} + \frac{x^{2}}{11}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.9

在公分母上合并分子。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \sqrt{\frac{11 + x^{2}}{11}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.10

将 $\sqrt{\frac{11 + x^{2}}{11}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{11 + x^{2}}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}}}{\sqrt{11}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.11

将 $\frac{\sqrt{11 + x^{2}}}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12

合并和化简分母。

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解题步骤 28.1.11.12.1

将 $\frac{\sqrt{11 + x^{2}}}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.2

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.3

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.6

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 28.1.11.12.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.1.11.12.6.4.1

约去公因数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.6.4.2

重写表达式。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{11^{1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.12.6.5

计算指数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 + x^{2}} \sqrt{11}}{11} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.13

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{11}})) |)) + C$

解题步骤 28.1.11.14

正切和余切互为反函数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x}{\sqrt{11}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.15

将 $\frac{x}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16

合并和化简分母。

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解题步骤 28.1.11.16.1

将 $\frac{x}{\sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.2

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.3

对 $\sqrt{11}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.6

将 ${\sqrt{11}}^{2}$ 重写为 $11$ 。

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解题步骤 28.1.11.16.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{11}$ 重写成 $11^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.1.11.16.6.4.1

约去公因数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.6.4.2

重写表达式。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{11^{1}} |)) + C$

解题步骤 28.1.11.16.6.5

计算指数。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11}}{11} + \frac{x \sqrt{11}}{11} |)) + C$

解题步骤 28.1.12

在公分母上合并分子。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11} + x \sqrt{11}}{11} |)) + C$

解题步骤 28.1.13

将 $\sqrt{(11 + x^{2}) \cdot 11} + x \sqrt{11}$ 中的因式重新排序。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (| \frac{\sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11}}{11} |)) + C$

解题步骤 28.1.14

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})) + C$

解题步骤 28.2

要将 $\ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{11}{11}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11}) \cdot \frac{11}{11}) + C$

解题步骤 28.3

组合 $\ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})$ 和 $\frac{11}{11}$ 。

$\frac{77}{2} (\frac{\sqrt{11 + x^{2}} x}{11} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11}) \cdot 11}{11}) + C$

解题步骤 28.4

在公分母上合并分子。

$\frac{77}{2} \cdot \frac{\sqrt{11 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11}) \cdot 11}{11} + C$

解题步骤 28.5

将 $11$ 移到 $\ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})$ 的左侧。

$\frac{77}{2} \cdot \frac{\sqrt{11 + x^{2}} x + 11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})}{11} + C$

解题步骤 28.6

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 28.6.1

从 $77$ 中分解出因数 $11$ 。

$\frac{11 (7)}{2} \cdot \frac{\sqrt{11 + x^{2}} x + 11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})}{11} + C$

解题步骤 28.6.2

约去公因数。

$\frac{11 \cdot 7}{2} \cdot \frac{\sqrt{11 + x^{2}} x + 11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})}{11} + C$

解题步骤 28.6.3

重写表达式。

$\frac{7}{2} (\sqrt{11 + x^{2}} x + 11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})) + C$

解题步骤 28.7

运用分配律。

$\frac{7}{2} (\sqrt{11 + x^{2}} x) + \frac{7}{2} (11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})) + C$

解题步骤 28.8

乘以 $\frac{7}{2} (\sqrt{11 + x^{2}} x)$ 。

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解题步骤 28.8.1

组合 $\sqrt{11 + x^{2}}$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{11 + x^{2}} \cdot 7}{2} x + \frac{7}{2} (11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})) + C$

解题步骤 28.8.2

组合 $\frac{\sqrt{11 + x^{2}} \cdot 7}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{\sqrt{11 + x^{2}} \cdot 7 x}{2} + \frac{7}{2} (11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})) + C$

解题步骤 28.9

乘以 $\frac{7}{2} (11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11}))$ 。

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解题步骤 28.9.1

组合 $11$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{11 + x^{2}} \cdot 7 x}{2} + \frac{11 \cdot 7}{2} \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11}) + C$

解题步骤 28.9.2

将 $11$ 乘以 $7$ 。

$\frac{\sqrt{11 + x^{2}} \cdot 7 x}{2} + \frac{77}{2} \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11}) + C$

解题步骤 28.9.3

组合 $\frac{77}{2}$ 和 $\ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})$ 。

$\frac{\sqrt{11 + x^{2}} \cdot 7 x}{2} + \frac{77 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})}{2} + C$

解题步骤 28.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{11 + x^{2}} \cdot 7 x + 77 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})}{2} + C$

解题步骤 28.11

从 $\sqrt{11 + x^{2}} \cdot 7 x + 77 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})$ 中分解出因数 $7$ 。

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解题步骤 28.11.1

从 $\sqrt{11 + x^{2}} \cdot 7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (\sqrt{11 + x^{2}} x) + 77 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})}{2} + C$

解题步骤 28.11.2

从 $77 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11})$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (\sqrt{11 + x^{2}} x) + 7 (11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11}))}{2} + C$

解题步骤 28.11.3

从 $7 (\sqrt{11 + x^{2}} x) + 7 (11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11}))$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (\sqrt{11 + x^{2}} x + 11 \ln (\frac{| \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |}{11}))}{2} + C$

解题步骤 29

重新排序项。

$\frac{7}{2} (\sqrt{11 + x^{2}} x + 11 \ln (\frac{1}{11} | \sqrt{11 (11 + x^{2})} + x \sqrt{11} |)) + C$

微积分学 示例

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