微积分学示例

$\int x^{4} (x^{3} + 8 x^{2} + 7) d x$

解题步骤 1

展开 $x^{4} (x^{3} + 8 x^{2} + 7)$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int x^{4} (x^{3} + 8 x^{2}) + x^{4} \cdot 7 d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int x^{4} x^{3} + x^{4} (8 x^{2}) + x^{4} \cdot 7 d x$

解题步骤 1.3

将 $x^{4}$ 和 $8$ 重新排序。

$\int x^{4} x^{3} + 8 \cdot x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot 7 d x$

解题步骤 1.4

将 $x^{4}$ 和 $7$ 重新排序。

$\int x^{4} x^{3} + 8 \cdot x^{4} x^{2} + 7 \cdot x^{4} d x$

解题步骤 1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4 + 3} + 8 x^{4} x^{2} + 7 x^{4} d x$

解题步骤 1.6

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\int x^{7} + 8 x^{4} x^{2} + 7 x^{4} d x$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{7} + 8 x^{4 + 2} + 7 x^{4} d x$

解题步骤 1.8

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{7} + 8 x^{6} + 7 x^{4} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{7} d x + \int 8 x^{6} d x + \int 7 x^{4} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{7}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{8} x^{8}$ 。

$\frac{1}{8} x^{8} + C + \int 8 x^{6} d x + \int 7 x^{4} d x$

解题步骤 4

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 \int x^{6} d x + \int 7 x^{4} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 7 x^{4} d x$

解题步骤 6

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 \int x^{4} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x^{7}}{7} + 7 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x^{7}}{7} + 7 \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $7$ 和 $\frac{x^{5}}{5}$ 。

$\frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x^{7}}{7} + \frac{7 x^{5}}{5} + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{1}{8} x^{8} + \frac{8}{7} x^{7} + \frac{7}{5} x^{5} + C$

微积分学 示例

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