微积分学示例

$\int x^{- 6} \ln (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{- 6}$ 。

$\ln (x) (- \frac{1}{5 x^{5}}) - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{5 x^{5}}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{5 x^{5}}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{x (5 x^{5})} d x$

解题步骤 2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 (x^{1} x^{5})} d x$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{1 + 5}} d x$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{6}} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - - \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + 1 \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

解题步骤 4.2

将 $\int \frac{1}{5 x^{6}} d x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{6}} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{6}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{6})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{6 \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{- 6} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 6}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$ 重写为 $- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $\frac{1}{x^{5}}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{x^{5} \cdot 5}) + C$

解题步骤 8.2.2

将 $5$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5 \cdot x^{5}}) + C$

解题步骤 8.2.3

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5 x^{5}}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{5 (5 x^{5})} + C$

解题步骤 8.2.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{25 x^{5}} + C$

微积分学 示例

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