微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{5 - \cos (2 t)} d t$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{5 - \cos (2 t)} d t$

解题步骤 2

使 $u_{2} = 5 - \cos (2 t)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = 5 - \cos (2 t)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $5 - \cos (2 t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [5 - \cos (2 t)]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $5 - \cos (2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \cos (2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ 。

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

解题步骤 2.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 2.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 t$ 。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 2.1.3.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 2.1.3.2.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

解题步骤 2.1.3.3

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

解题步骤 2.1.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 2 \sin (2 t)$

解题步骤 2.1.4

将 $0$ 和 $2 \sin (2 t)$ 相加。

$2 \sin (2 t)$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{2} = 5 - \cos (2 t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 5 - \cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 5 - \cos (0)$

解题步骤 2.3.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 5 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 5 - 1$

解题步骤 2.3.2

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{2} = 5 - \cos (2 t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 5 - \cos (2 \frac{π}{2})$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.1

约去公因数。

$u_{upper} = 5 - \cos (2 \frac{π}{2})$

解题步骤 2.5.1.1.2

重写表达式。

$u_{upper} = 5 - \cos (π)$

解题步骤 2.5.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{upper} = 5 - - \cos (0)$

解题步骤 2.5.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 5 - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.5.1.4

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 5 - - 1$

解题步骤 2.5.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{upper} = 5 + 1$

解题步骤 2.5.2

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 6$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

解题步骤 2.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{4}^{6} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int_{4}^{6} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$2 \int_{4}^{6} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int_{4}^{6} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int_{4}^{6} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int_{4}^{6} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$1 \int_{4}^{6} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 5.3

将 $\int_{4}^{6} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{4}^{6} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| u_{2} |)]_{4}^{6}$

解题步骤 7

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $6$ 处和在 $4$ 处的值。

$\ln (| 6 |) - \ln (| 4 |)$

解题步骤 8

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 6 |}{| 4 |})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $6$ 之间的距离为 $6$ 。

$\ln (\frac{6}{| 4 |})$

解题步骤 9.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\ln (\frac{6}{4})$

解题步骤 9.3

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (\frac{2 (3)}{4})$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2})$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2})$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$\ln (\frac{3}{2})$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\frac{3}{2})$

小数形式：

$0.40546510 \dots$

微积分学 示例

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