微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

解题步骤 3

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (t)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 8

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 8.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 8.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 8.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 8.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 9

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

解题步骤 11

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $t$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 12.2

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

解题步骤 12.3

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

解题步骤 13.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

解题步骤 13.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

解题步骤 13.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

解题步骤 13.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 14.2

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 14.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 14.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 14.3

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 14.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 14.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

小数形式：

$0.14269908 \dots$

解题步骤 16

微积分学 示例

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