微积分学示例

$\int_{0}^{0.786} x \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin^{2} (x)$ 。

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

解题步骤 2

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\sin (2 x)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.786} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

解题步骤 7

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \int_{0}^{0.786} \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - (\frac{1}{4} \int_{0}^{0.786} \sin (2 x) d x))$

解题步骤 10

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 10.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 10.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 0.786$

解题步骤 10.5

将 $2$ 乘以 $0.786$ 。

$u_{upper} = 1.572$

解题步骤 10.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.572$

解题步骤 10.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 11

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \frac{\sin (u)}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

解题步骤 14

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} - \cos (u)]_{0}^{1.572})$

解题步骤 15

组合 $- \cos (u)]_{0}^{1.572}$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

解题步骤 16

代入并化简。

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解题步骤 16.1

计算 $x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})$ 在 $0.786$ 处和在 $0$ 处的值。

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

解题步骤 16.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $0.786$ 处和在 $0$ 处的值。

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

解题步骤 16.3

计算 $- \cos (u)$ 在 $1.572$ 处和在 $0$ 处的值。

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4

化简。

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解题步骤 16.4.1

将 $2$ 乘以 $0.786$ 。

$0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.2

将 $0.786$ 乘以 $\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}$ 。

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$0.11239814 + 0 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 16.4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.3.2.2

约去公因数。

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.3.2.3

重写表达式。

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.5

从 $0$ 中减去 $\frac{\sin (0)}{4}$ 。

$0.11239814 + 0 (- \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0.11239814 + 0 \frac{\sin (0)}{4} - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.7

将 $0$ 乘以 $\frac{\sin (0)}{4}$ 。

$0.11239814 + 0 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.8

将 $0.11239814$ 和 $0$ 相加。

$0.11239814 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.9

对 $0.786$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.11

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 (0)}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 16.4.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.11.2.2

约去公因数。

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.11.2.3

重写表达式。

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.12

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} + 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.13

将 $\frac{0.617796}{2}$ 和 $0$ 相加。

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.14

将 $\frac{\frac{0.617796}{2}}{2}$ 重写为乘积形式。

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.15

将 $\frac{0.617796}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2 \cdot 2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{4} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

解题步骤 16.4.17

从 $0.11239814$ 中减去 $\frac{0.617796}{4} - \frac{- \cos (1.572) + \cos (0)}{8}$ 。

$0.0830996$

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