微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 8 \sin (x) + 4 \cos (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 8 \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

解题步骤 2

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + 4 \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} \cos (x) d x$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + 4 (\sin (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}})$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

代入并化简。

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解题步骤 6.1.1

计算 $- \cos (x)$ 在 $\frac{13 π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 ((- \cos (\frac{13 π}{6})) + \cos (0)) + 4 (\sin (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}})$

解题步骤 6.1.2

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{13 π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + \cos (0)) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - \sin (0))$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - \sin (0))$

解题步骤 6.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - 0)$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) + 0)$

解题步骤 6.2.4

将 $\sin (\frac{13 π}{6})$ 和 $0$ 相加。

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$8 (- \cos (\frac{π}{6}) + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3.3

运用分配律。

$8 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$8 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3.4.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3.4.3

约去公因数。

$2 \cdot 4 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3.4.4

重写表达式。

$4 (- \sqrt{3}) + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \sqrt{3} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3.6

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

解题步骤 6.3.7

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 \sin (\frac{π}{6})$

解题步骤 6.3.8

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.3.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2 (2) \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.9.2

约去公因数。

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.9.3

重写表达式。

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2$

解题步骤 6.3.10

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$- 4 \sqrt{3} + 10$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 4 \sqrt{3} + 10$

小数形式：

$3.07179676 \dots$

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