微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} + \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \cos (4 x) d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = 4 x$ 。然后使 $d u_{1} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = 4 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u_{1} = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u_{1} = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

解题步骤 3.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 3.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

解题步骤 4

组合 $\cos (u_{1})$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

解题步骤 6.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

解题步骤 7

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\sin (u_{1})$ 。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \sin (4 x) d x$

解题步骤 9

使 $u_{2} = 4 x$ 。然后使 $d u_{2} = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{2} = 4 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 9.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 9.2

将下限代入替换 $u_{2} = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

解题步骤 9.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 9.4

将上限代入替换 $u_{2} = 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

解题步骤 9.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

解题步骤 9.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

解题步骤 9.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 9.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 9.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

解题步骤 10

组合 $\sin (u_{2})$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 12.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 13

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\sin (u_{1})$ 在 $\frac{3 π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

解题步骤 14.2

计算 $- \cos (u_{2})$ 在 $\frac{3 π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{3 π}{4})) + \cos (0))$

解题步骤 14.3

去掉圆括号。

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - \sin (0)) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

解题步骤 15.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

解题步骤 15.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) + 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

解题步骤 15.4

将 $\sin (\frac{3 π}{4})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{16} \sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

解题步骤 15.5

组合 $\frac{1}{16}$ 和 $\sin (\frac{3 π}{4})$ 。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

解题步骤 15.6

要将 $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 15.7

组合 $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

解题步骤 15.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

解题步骤 15.9

组合 $16$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

解题步骤 15.10

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 15.10.1

约去公因数。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

解题步骤 15.10.2

重写表达式。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

解题步骤 15.11

将 $- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) + 1}{16}$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \cos (\frac{π}{4}) + 1}{16}$

解题步骤 16.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

解题步骤 16.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 16.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

解题步骤 16.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

解题步骤 16.4

化简分子。

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解题步骤 16.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

解题步骤 16.4.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

解题步骤 16.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

解题步骤 16.4.4

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

解题步骤 16.4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.5.1

约去公因数。

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

解题步骤 16.4.5.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

小数形式：

$0.15088834 \dots$

微积分学 示例

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