微积分学示例

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} e^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (2 x) d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x)$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} d x)$

解题步骤 5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

解题步骤 6

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

计算 $x^{2} e^{x}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

解题步骤 6.2

计算 $x e^{x}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

解题步骤 6.3

计算 $e^{x}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 4$ 处的值。

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

解题步骤 6.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

解题步骤 6.4.2

将 $e^{- 1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

解题步骤 6.4.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$e^{- 1} - 1 \cdot 16 e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

解题步骤 6.4.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e^{- 1} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

解题步骤 7.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e} - 16 \frac{1}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

解题步骤 7.1.3

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$\frac{1}{e} + \frac{- 16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

解题步骤 7.1.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

解题步骤 7.1.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

解题步骤 7.1.5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 \frac{1}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

解题步骤 7.1.5.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

解题步骤 7.1.5.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (\frac{1}{e} - e^{- 4}))$

解题步骤 7.1.5.5

运用分配律。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} - - e^{- 4})$

解题步骤 7.1.5.6

乘以 $- - e^{- 4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.5.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + 1 e^{- 4})$

解题步骤 7.1.5.6.2

将 $e^{- 4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + e^{- 4})$

解题步骤 7.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 1 - 1}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

解题步骤 7.1.7

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

解题步骤 7.1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} - \frac{2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

解题步骤 7.1.9

运用分配律。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} - 2 (- \frac{2}{e}) - 2 \frac{4}{e^{4}}$

解题步骤 7.1.10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.10.1

乘以 $- 2 (- \frac{2}{e})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.10.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + 2 \frac{2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

解题步骤 7.1.10.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{e}$ 。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

解题步骤 7.1.10.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

解题步骤 7.1.10.2

乘以 $- 2 \frac{4}{e^{4}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.10.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{4}{e^{4}}$ 。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 2 \cdot 4}{e^{4}}$

解题步骤 7.1.10.2.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 8}{e^{4}}$

解题步骤 7.1.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - \frac{8}{e^{4}}$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$- 2 e^{- 4} + \frac{1 + 4}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

解题步骤 7.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

解题步骤 7.4

从 $- 16$ 中减去 $8$ 。

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

解题步骤 7.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \frac{1}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

解题步骤 7.5.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$\frac{- 2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

解题步骤 7.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

解题步骤 7.5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} - \frac{24}{e^{4}}$

解题步骤 7.6

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 - 24}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

解题步骤 7.7

从 $- 2$ 中减去 $24$ 。

$\frac{- 26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

解题步骤 7.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

小数形式：

$1.36319059 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例