微积分学示例

$\int_{4}^{5} \frac{3 x^{2}}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{4}^{5} \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} d x$

解题步骤 2

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

解题步骤 2.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$

解题步骤 2.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(x - 2)}^{2} (x - 3)$ 。

$\frac{x^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.5

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.5.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.6

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.6.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 2.1.7.1

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.7.1.1

约去公因数。

$x^{2} = \frac{A {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.1.2

用 $(A) (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = (A) (x - 3) + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.2

运用分配律。

$x^{2} = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.3

将 $- 3$ 移到 $A$ 的左侧。

$x^{2} = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.4

约去 ${(x - 2)}^{2}$ 和 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.7.4.1

从 $(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.7.4.2.1

乘以 $1$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.4.2.2

约去公因数。

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.4.2.3

重写表达式。

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{B (x - 2) (x - 3)}{1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.4.2.4

用 $B (x - 2) (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B (x - 2) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.5

运用分配律。

$x^{2} = A x - 3 A + (B x + B \cdot - 2) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.6

将 $- 2$ 移到 $B$ 的左侧。

$x^{2} = A x - 3 A + (B x - 2 \cdot B) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.7

使用 FOIL 方法展开 $(B x - 2 B) (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.1.7.7.1

运用分配律。

$x^{2} = A x - 3 A + B x (x - 3) - 2 B (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.7.2

运用分配律。

$x^{2} = A x - 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 - 2 B (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.7.3

运用分配律。

$x^{2} = A x - 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.7.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.7.8.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.7.8.1.1.1

移动 $x$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.8.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.8.1.2

将 $- 3$ 移到 $B x$ 的左侧。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.8.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x - 2 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.8.2

从 $- 3 B x$ 中减去 $2 B x$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.9

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.7.9.1

约去公因数。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 2.1.7.9.2

用 $(C) {(x - 2)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + (C) {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 2.1.7.10

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C ((x - 2) (x - 2))$

解题步骤 2.1.7.11

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.1.7.11.1

运用分配律。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

解题步骤 2.1.7.11.2

运用分配律。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

解题步骤 2.1.7.11.3

运用分配律。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 2.1.7.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.7.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.7.12.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 2.1.7.12.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

解题步骤 2.1.7.12.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

解题步骤 2.1.7.12.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 4 x + 4)$

解题步骤 2.1.7.13

运用分配律。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} + C (- 4 x) + C \cdot 4$

解题步骤 2.1.7.14

化简。

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解题步骤 2.1.7.14.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + C \cdot 4$

解题步骤 2.1.7.14.2

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 \cdot C$

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

解题步骤 2.1.8

化简表达式。

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解题步骤 2.1.8.1

移动 $B$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 x B + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

解题步骤 2.1.8.2

移动 $6 B$ 。

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 x B + C x^{2} - 4 C x + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.1.8.3

移动 $- 3 A$ 。

$x^{2} = A x + B x^{2} - 5 x B + C x^{2} - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.1.8.4

移动 $- 5 x B$ 。

$x^{2} = A x + B x^{2} + C x^{2} - 5 x B - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.1.8.5

移动 $A x$ 。

$x^{2} = B x^{2} + C x^{2} + A x - 5 x B - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = B + C$

解题步骤 2.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A - 5 B - 4 C$

解题步骤 2.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = B + C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$1 = B + C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.1

在 $1 = B + C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将方程重写为 $B + C = 1$ 。

$B + C = 1$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.3.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$B = 1 - C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $1 - C$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 $1 - C$ 替换 $0 = A - 5 B - 4 C$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = A - 5 (1 - C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

化简 $A - 5 (1 - C) - 4 C$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$0 = A - 5 \cdot 1 - 5 (- C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.3.2.2.1.1.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$0 = A - 5 - 5 (- C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$0 = A - 5 + 5 C - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + 5 C - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

从 $5 C$ 中减去 $4 C$ 。

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $1 - C$ 替换 $0 = - 3 A + 6 B + 4 C$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = - 3 A + 6 (1 - C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

解题步骤 2.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.4.1

化简 $- 3 A + 6 (1 - C) + 4 C$ 。

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解题步骤 2.3.2.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.4.1.1.1

运用分配律。

$0 = - 3 A + 6 \cdot 1 + 6 (- C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

解题步骤 2.3.2.4.1.1.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$0 = - 3 A + 6 + 6 (- C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

解题步骤 2.3.2.4.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$0 = - 3 A + 6 - 6 C + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 6 C + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

解题步骤 2.3.2.4.1.2

将 $- 6 C$ 和 $4 C$ 相加。

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

解题步骤 2.3.3

将 $1$ 和 $- C$ 重新排序。

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

解题步骤 2.3.4

在 $0 = A - 5 + C$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

将方程重写为 $A - 5 + C = 0$ 。

$A - 5 + C = 0$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

解题步骤 2.3.4.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.4.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$A + C = 5$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

解题步骤 2.3.4.2.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

解题步骤 2.3.5

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $5 - C$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

使用 $5 - C$ 替换 $0 = - 3 A + 6 - 2 C$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = - 3 (5 - C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.5.2.1

化简 $- 3 (5 - C) + 6 - 2 C$ 。

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解题步骤 2.3.5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.5.2.1.1.1

运用分配律。

$0 = - 3 \cdot 5 - 3 (- C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.5.2.1.1.2

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$0 = - 15 - 3 (- C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.5.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$0 = - 15 + 3 C + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 15 + 3 C + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.5.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1.2.1

将 $- 15$ 和 $6$ 相加。

$0 = 3 C - 9 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.5.2.1.2.2

从 $3 C$ 中减去 $2 C$ 。

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.6

在 $0 = C - 9$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 2.3.6.1

将方程重写为 $C - 9 = 0$ 。

$C - 9 = 0$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.6.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$C = 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$C = 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.7

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $9$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

使用 $9$ 替换 $A = 5 - C$ 中所有出现的 $C$ .

$A = 5 - (9)$

$C = 9$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.7.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.7.2.1

化简 $5 - (9)$ 。

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解题步骤 2.3.7.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$A = 5 - 9$

$C = 9$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.7.2.1.2

从 $5$ 中减去 $9$ 。

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

解题步骤 2.3.7.3

使用 $9$ 替换 $B = - C + 1$ 中所有出现的 $C$ .

$B = - (9) + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

解题步骤 2.3.7.4

化简右边。

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解题步骤 2.3.7.4.1

化简 $- (9) + 1$ 。

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解题步骤 2.3.7.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$B = - 9 + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

解题步骤 2.3.7.4.1.2

将 $- 9$ 和 $1$ 相加。

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

解题步骤 2.3.8

列出所有解。

$B = - 8, A = - 4, C = 9$

解题步骤 2.4

将 $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3}$

解题步骤 2.5.2

将负号移到分数的前面。

$3 \int_{4}^{5} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$3 (\int_{4}^{5} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (- \int_{4}^{5} \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$3 (- (4 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (- 4 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 7

使 $u_{1} = x - 2$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{1} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 7.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u_{1} = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 - 2$

解题步骤 7.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u_{1} = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 - 2$

解题步骤 7.5

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 7.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 (- 4 \int_{2}^{3} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 8.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 8.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 9

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 2}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- {u_{1}}^{- 1}$ 。

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - \int_{4}^{5} \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 11

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - (8 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 2} d x) + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 12

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 13

使 $u_{2} = x - 2$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u_{2} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 13.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 13.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 13.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 13.2

将下限代入替换 $u_{2} = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 - 2$

解题步骤 13.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 13.4

将上限代入替换 $u_{2} = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 - 2$

解题步骤 13.5

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 13.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 13.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 \int_{2}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 14

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

解题步骤 15

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

解题步骤 16

使 $u_{3} = x - 3$ 。然后使 $d u_{3} = d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 16.1

设 $u_{3} = x - 3$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 16.1.1

对 $x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

解题步骤 16.1.2

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 16.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 16.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 16.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 16.2

将下限代入替换 $u_{3} = x - 3$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 - 3$

解题步骤 16.3

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 16.4

将上限代入替换 $u_{3} = x - 3$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 - 3$

解题步骤 16.5

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 16.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 16.7

使用 $u_{3}$ 、 $d u_{3}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 17

$\frac{1}{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

解题步骤 18

代入并化简。

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解题步骤 18.1

计算 $- {u_{1}}^{- 1}$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

解题步骤 18.2

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $3$ 处和在 $2$ 处的值。

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

解题步骤 18.3

计算 $\ln (| u_{3} |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4

化简。

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解题步骤 18.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.3

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.4

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 18.4.5.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (- 4 (- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.5.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.5.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.6

在公分母上合并分子。

$3 (- 4 \frac{- 2 + 3}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.7

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$3 (- 4 (\frac{1}{6}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$3 (\frac{- 4}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.9

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 18.4.9.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{2 (- 2)}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 18.4.9.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.9.2.2

约去公因数。

$3 (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.9.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{- 2}{3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.10

将负号移到分数的前面。

$3 (- \frac{2}{3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.11

要将 $- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (- \frac{2}{3} - 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot \frac{3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.12

组合 $- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (- \frac{2}{3} + \frac{- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot 3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.13

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{- 2 - 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot 3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.14

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 18.4.15

要将 $9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + 9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 18.4.16

组合 $9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + \frac{9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3})$

解题步骤 18.4.17

在公分母上合并分子。

$3 \frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

解题步骤 18.4.18

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$3 \frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$

解题步骤 18.4.19

组合 $3$ 和 $\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$ 。

$\frac{3 (- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{3}$

解题步骤 18.4.20

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 18.4.20.1

约去公因数。

$\frac{3 (- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{3}$

解题步骤 18.4.20.2

用 $- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ 除以 $1$ 。

$- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- 2 - 24 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 19.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- 2 - 24 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{| 2 |}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

解题步骤 20.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

解题步骤 20.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

解题步骤 20.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{2}{1})$

解题步骤 20.5

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (2)$

解题步骤 21

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (2)$

小数形式：

$6.98381128 \dots$

解题步骤 22

微积分学 示例

微积分学示例