微积分学示例

$\int_{2}^{5} 3 x - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{2}^{5} 3 x d x + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{2}^{5} x d x + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \int_{2}^{5} \frac{6}{7 x^{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{6}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{6}{7}$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - (\frac{6}{7} \int_{2}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} \int_{2}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} \int_{2}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} \int_{2}^{5} x^{- 2} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} - x^{- 1}]_{2}^{5}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$3 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - \frac{6}{7} - x^{- 1}]_{2}^{5}$

解题步骤 9.2

计算 $- x^{- 1}$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.3.2.2

约去公因数。

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.3.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (\frac{25}{2} - 2) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.5

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.7

在公分母上合并分子。

$3 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.8

化简分子。

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解题步骤 9.3.8.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$3 \frac{25 - 4}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.8.2

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$3 (\frac{21}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.9

组合 $3$ 和 $\frac{21}{2}$ 。

$\frac{3 \cdot 21}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.10

将 $3$ 乘以 $21$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} + 2^{- 1})$

解题步骤 9.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{2})$

解题步骤 9.3.13

要将 $- \frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 9.3.14

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 9.3.15

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $10$ 的形式。

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解题步骤 9.3.15.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 9.3.15.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 9.3.15.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5})$

解题步骤 9.3.15.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{10} + \frac{5}{10})$

解题步骤 9.3.16

在公分母上合并分子。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} \cdot \frac{- 2 + 5}{10}$

解题步骤 9.3.17

将 $- 2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} \cdot \frac{3}{10}$

解题步骤 9.3.18

将 $\frac{3}{10}$ 乘以 $\frac{6}{7}$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 7}$

解题步骤 9.3.19

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{18}{10 \cdot 7}$

解题步骤 9.3.20

将 $10$ 乘以 $7$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{18}{70}$

解题步骤 9.3.21

约去 $18$ 和 $70$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.21.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{2 (9)}{70}$

解题步骤 9.3.21.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.21.2.1

从 $70$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{63}{2} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 35}$

解题步骤 9.3.21.2.2

约去公因数。

$\frac{63}{2} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 35}$

解题步骤 9.3.21.2.3

重写表达式。

$\frac{63}{2} - \frac{9}{35}$

解题步骤 9.3.22

要将 $\frac{63}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{35}{35}$ 。

$\frac{63}{2} \cdot \frac{35}{35} - \frac{9}{35}$

解题步骤 9.3.23

要将 $- \frac{9}{35}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{63}{2} \cdot \frac{35}{35} - \frac{9}{35} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.3.24

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $70$ 的形式。

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解题步骤 9.3.24.1

将 $\frac{63}{2}$ 乘以 $\frac{35}{35}$ 。

$\frac{63 \cdot 35}{2 \cdot 35} - \frac{9}{35} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.3.24.2

将 $2$ 乘以 $35$ 。

$\frac{63 \cdot 35}{70} - \frac{9}{35} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.3.24.3

将 $\frac{9}{35}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{63 \cdot 35}{70} - \frac{9 \cdot 2}{35 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.24.4

将 $35$ 乘以 $2$ 。

$\frac{63 \cdot 35}{70} - \frac{9 \cdot 2}{70}$

解题步骤 9.3.25

在公分母上合并分子。

$\frac{63 \cdot 35 - 9 \cdot 2}{70}$

解题步骤 9.3.26

化简分子。

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解题步骤 9.3.26.1

将 $63$ 乘以 $35$ 。

$\frac{2205 - 9 \cdot 2}{70}$

解题步骤 9.3.26.2

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2205 - 18}{70}$

解题步骤 9.3.26.3

从 $2205$ 中减去 $18$ 。

$\frac{2187}{70}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2187}{70}$

小数形式：

$31.24285714 \dots$

带分数形式：

$31 \frac{17}{70}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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