微积分学示例

$\int_{27}^{64} \sqrt[3]{x} - 3 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{27}^{64} \sqrt[3]{x} d x + \int_{27}^{64} - 3 d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int_{27}^{64} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{27}^{64} - 3 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64} + \int_{27}^{64} - 3 d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64} + - 3 x]_{27}^{64}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64}$ 和 $- 3 x]_{27}^{64}$ 。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 3 x]_{27}^{64}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 3 x$ 在 $64$ 处和在 $27$ 处的值。

$(\frac{3}{4} \cdot 64^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 64) - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot {(4^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot 4^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{3}{4} \cdot 4^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{4} \cdot 4^{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.4

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{3}{4} \cdot 256 - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.5

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $256$ 。

$\frac{3 \cdot 256}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.6

将 $3$ 乘以 $256$ 。

$\frac{768}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.7

约去 $768$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.7.1

从 $768$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 192}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 192}{4 (1)} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 192}{4 \cdot 1} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{192}{1} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.7.2.4

用 $192$ 除以 $1$ 。

$192 - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.8

将 $- 3$ 乘以 $64$ 。

$192 - 192 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.9

从 $192$ 中减去 $192$ 。

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.10

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$0 - (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.11

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.12

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.12.1

约去公因数。

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.12.2

重写表达式。

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.13

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 81 - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.14

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $81$ 。

$0 - (\frac{3 \cdot 81}{4} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.15

将 $3$ 乘以 $81$ 。

$0 - (\frac{243}{4} - 3 \cdot 27)$

解题步骤 5.2.2.16

将 $- 3$ 乘以 $27$ 。

$0 - (\frac{243}{4} - 81)$

解题步骤 5.2.2.17

要将 $- 81$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$0 - (\frac{243}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 5.2.2.18

组合 $- 81$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$0 - (\frac{243}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4})$

解题步骤 5.2.2.19

在公分母上合并分子。

$0 - \frac{243 - 81 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.2.20

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.20.1

将 $- 81$ 乘以 $4$ 。

$0 - \frac{243 - 324}{4}$

解题步骤 5.2.2.20.2

从 $243$ 中减去 $324$ 。

$0 - \frac{- 81}{4}$

解题步骤 5.2.2.21

将负号移到分数的前面。

$0 - - \frac{81}{4}$

解题步骤 5.2.2.22

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 1 (\frac{81}{4})$

解题步骤 5.2.2.23

将 $\frac{81}{4}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{81}{4}$

解题步骤 5.2.2.24

将 $0$ 和 $\frac{81}{4}$ 相加。

$\frac{81}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{81}{4}$

小数形式：

$20.25$

带分数形式：

$20 \frac{1}{4}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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