微积分学示例

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

解题步骤 1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.3

将 $\frac{5}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{5}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.4.1

约去公因数。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.6.4.2

重写表达式。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.4.6.5

化简。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

解题步骤 1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.5.1

对 $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ 运用乘积法则。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.5.2

对 $5 \sqrt{x}$ 运用乘积法则。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6.2

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.4.1

约去公因数。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6.2.4.2

重写表达式。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.6.2.5

化简。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.7

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

从 $25 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

解题步骤 1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

解题步骤 1.7.2.2

约去公因数。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

解题步骤 1.7.2.3

重写表达式。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

解题步骤 1.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

解题步骤 1.9

在公分母上合并分子。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

解题步骤 1.10

组合 $\frac{x + 25}{x}$ 和 $x$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

解题步骤 1.11

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.11.1

约去公因数。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

解题步骤 1.11.2

用 $x + 25$ 除以 $1$ 。

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

解题步骤 2

由于 $20 p$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $20 p$ 移到积分外。

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

解题步骤 3

使 $u = x + 25$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x + 25$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x + 25$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 3.1.4

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = x + 25$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 24 + 25$

解题步骤 3.3

将 $24$ 和 $25$ 相加。

$u_{lower} = 49$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = x + 25$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 39 + 25$

解题步骤 3.5

将 $39$ 和 $25$ 相加。

$u_{upper} = 64$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

解题步骤 6

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $64$ 处和在 $49$ 处的值。

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1

约去公因数。

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.3.2

重写表达式。

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.4

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.5

将 $2$ 乘以 $512$ 。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.6

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 7.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

解题步骤 7.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.8.1

约去公因数。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

解题步骤 7.2.8.2

重写表达式。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

解题步骤 7.2.9

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

解题步骤 7.2.10

将 $2$ 乘以 $343$ 。

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

解题步骤 7.2.11

在公分母上合并分子。

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

解题步骤 7.2.12

从 $1024$ 中减去 $686$ 。

$20 p \frac{338}{3}$

解题步骤 7.2.13

组合 $20$ 和 $\frac{338}{3}$ 。

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

解题步骤 7.2.14

将 $20$ 乘以 $338$ 。

$p \frac{6760}{3}$

解题步骤 7.2.15

组合 $p$ 和 $\frac{6760}{3}$ 。

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

解题步骤 7.2.16

将 $6760$ 移到 $p$ 的左侧。

$\frac{6760 p}{3}$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{6760}{3} p$

解题步骤 9

组合 $\frac{6760}{3}$ 和 $p$ 。

$\frac{6760 p}{3}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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