微积分学示例

$\int 625 x^{3} e^{5 x} d x$

解题步骤 1

由于 $625$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $625$ 移到积分外。

$625 \int x^{3} e^{5 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{3}$ ， $d v = e^{5 x}$ 。

$625 (x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

解题步骤 3

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$625 (x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

解题步骤 3.2

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (3 x^{2}) d x)$

解题步骤 3.4

组合 $3$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x}}{5} x^{2} d x)$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{3 e^{5 x}}{5}$ 和 $x^{2}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x} x^{2}}{5} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{3}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{5}$ 移到积分外。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{3}{5} \int e^{5 x} x^{2} d x))$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{5 x}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

解题步骤 6.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x))$

解题步骤 6.4

组合 $2$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x))$

解题步骤 6.5

组合 $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ 和 $x$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x))$

解题步骤 7

由于 $\frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{5}$ 移到积分外。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x)))$

解题步骤 8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{5 x}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

解题步骤 9

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

解题步骤 9.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

解题步骤 9.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5 x}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x)))$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x))))$

解题步骤 11

使 $u = 5 x$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u = 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 11.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u)))$

解题步骤 12

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u)))$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))))$

解题步骤 14

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解题步骤 14.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 14.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 15

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$

解题步骤 16

将 $625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$ 重写为 $625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$

解题步骤 17

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18

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解题步骤 18.1

运用分配律。

$625 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2

化简。

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解题步骤 18.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.1.1

从 $625$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (125) \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.1.2

约去公因数。

$5 \cdot 125 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.1.3

重写表达式。

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.2

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.2.1

将 $- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}$ 中前置负号移到分子中。

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.2.2

从 $625$ 中分解出因数 $25$ 。

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (25) \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.2.3

约去公因数。

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 \cdot 25 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.2.4

重写表达式。

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (- 3 x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.3

将 $- 3$ 乘以 $25$ 。

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.4

约去 $125$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.4.1

从 $625$ 中分解出因数 $125$ 。

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 (5) \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.4.2

约去公因数。

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 \cdot 5 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.4.3

重写表达式。

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 5 (6 x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.5

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

解题步骤 18.2.6

约去 $625$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.6.1

将 $- \frac{6 e^{5 x}}{625}$ 中前置负号移到分子中。

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

解题步骤 18.2.6.2

约去公因数。

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

解题步骤 18.2.6.3

重写表达式。

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) - 6 e^{5 x} + C$

解题步骤 18.3

去掉圆括号。

$125 x^{3} e^{5 x} - 75 x^{2} e^{5 x} + 30 x e^{5 x} - 6 e^{5 x} + C$

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