微积分学示例

$\int_{- 8}^{0} x e^{x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$x e^{x}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} e^{x} d x$

解题步骤 2

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$x e^{x}]_{- 8}^{0} - (e^{x}]_{- 8}^{0})$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $x e^{x}$ 在 $0$ 处和在 $- 8$ 处的值。

$(0 e^{0}) + 8 e^{- 8} - (e^{x}]_{- 8}^{0})$

解题步骤 3.2

计算 $e^{x}$ 在 $0$ 处和在 $- 8$ 处的值。

$(0 e^{0}) + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1 + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

解题步骤 3.3.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $8 e^{- 8}$ 相加。

$8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

解题步骤 3.3.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$8 e^{- 8} - (1 - e^{- 8})$

$8 e^{- 8} - (1 - e^{- 8})$

$8 e^{- 8} - (1 - e^{- 8})$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$8 \frac{1}{e^{8}} - (1 - e^{- 8})$

解题步骤 4.2

组合 $8$ 和 $\frac{1}{e^{8}}$ 。

$\frac{8}{e^{8}} - (1 - e^{- 8})$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{8}{e^{8}} - 1 \cdot 1 - - e^{- 8}$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{e^{8}} - 1 - - e^{- 8}$

解题步骤 4.5

乘以 $- - e^{- 8}$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + 1 e^{- 8}$

解题步骤 4.5.2

将 $e^{- 8}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

小数形式：

$- 0.99698083 \dots$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$