微积分学示例

$\int 8 x^{3} \sqrt{2 x + 1} d x$

解题步骤 1

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int x^{3} \sqrt{2 x + 1} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{3}$ ， $d v = \sqrt{2 x + 1}$ 。

$8 (x^{3} (\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 (x^{3} \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

解题步骤 3.2

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} (3 x^{2}) d x)$

解题步骤 3.4

组合 $3$ 和 $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} x^{2} d x)$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} d x)$

解题步骤 3.6

约去公因数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} d x)$

解题步骤 3.7

用 ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ 除以 $1$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x)$

解题步骤 4

使 $u_{1} = 2 x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1})$

解题步骤 5

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}}}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{1})$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 和 ${(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2} d u_{1})$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{1}))$

解题步骤 7

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 7.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 7.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 7.1.3.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

解题步骤 7.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1.4.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $- \frac{1}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} + 0$

解题步骤 7.1.4.2

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 7.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

解题步骤 8

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解题步骤 8.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} (1 \cdot 2) d u_{2})$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} \cdot 2 d u_{2})$

解题步骤 8.3

将 $2$ 移到 ${(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2}$ 的左侧。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int 2 {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 9

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (2 \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}))$

解题步骤 10

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解题步骤 10.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{1}{2}) \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 10.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 10.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 10.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 10.3.2.3

重写表达式。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{1} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 10.3.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 11

使 $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ 。然后使 $d u_{3} = 2 d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $2 u_{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

解题步骤 11.1.2

根据加法法则， $2 u_{2} + 1$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 11.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ 。

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解题步骤 11.1.3.1

因为 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $2 u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 11.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 11.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

解题步骤 11.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 11.1.4.1

因为 $1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 11.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 11.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{3})$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 和 ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2} d u_{3})$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{3}))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ 重写为 $(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.3

运用分配律。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.4

运用分配律。

解题步骤 14.5

运用分配律。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2})) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.6

运用分配律。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2})) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.7

运用分配律。

解题步骤 14.8

将 $\frac{u_{3}}{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.9

移动括号。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot \frac{u_{3}}{2}) \frac{1}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.10

将 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.11

移动括号。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2}) \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.12

将 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

解题步骤 14.13

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2}) d u_{3})$

解题步骤 14.14

移动括号。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot - 1 \frac{1}{2}) \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.15

移动括号。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot - 1) \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.16

移动 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.17

组合 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{u_{3}}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.18

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.20

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.21

在公分母上合并分子。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.22

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.23

将 $\frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{u_{3}}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}} u_{3}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.24

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}} {u_{3}}^{1}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.26

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.27

在公分母上合并分子。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.28

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.29

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.30

组合 $- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{u_{3}}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.31

提取负因数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.32

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.33

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.34

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.35

在公分母上合并分子。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.36

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.37

将 $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.38

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.39

组合 $- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.40

将 $\frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{u_{3}}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.41

提取负因数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.42

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.43

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.44

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.45

在公分母上合并分子。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.46

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.47

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.48

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.49

将 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.50

组合 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

解题步骤 14.51

将 $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} d u_{3})$

解题步骤 14.52

将 $2$ 乘以 $2$ 。

解题步骤 14.53

将 $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4}$ 和 $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4}$ 相加。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + 2 \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

解题步骤 14.54

组合 $2$ 和 $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

解题步骤 14.55

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

从 $- 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

解题步骤 15.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{2 (2)} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

解题步骤 15.2.2

约去公因数。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

解题步骤 15.2.3

重写表达式。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

解题步骤 15.3

将负号移到分数的前面。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

解题步骤 16

将单个积分拆分为多个积分。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

解题步骤 17

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

解题步骤 18

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

解题步骤 19

组合 $\frac{2}{9}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

解题步骤 20

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

解题步骤 21

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3}) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

解题步骤 22

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

解题步骤 23

组合 $\frac{2}{7}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

解题步骤 24

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

解题步骤 25

根据幂法则， ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

解题步骤 26

化简。

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解题步骤 26.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 。

解题步骤 26.2

化简。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

解题步骤 26.3

化简。

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解题步骤 26.3.1

要将 $\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{12}{12} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

解题步骤 26.3.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 26.3.2.1

将 $\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 12}{3 \cdot 12} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

解题步骤 26.3.2.2

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 12}{36} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

解题步骤 26.3.3

在公分母上合并分子。

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 12 - {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

解题步骤 26.3.4

将 $12$ 移到 $x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

解题步骤 27

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 27.1

使用 $2 u_{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{(2 u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{(2 u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

解题步骤 27.2

使用 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

解题步骤 27.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

解题步骤 28

重新排序项。

$8 (\frac{1}{36} (12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{9}{2}}) + \frac{1}{14} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{20} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微积分学 示例

微积分学示例