微积分学示例

$\int_{8}^{9} x + \frac{2}{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{8}^{9} x d x + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 \int_{8}^{9} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

代入并化简。

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解题步骤 5.1.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $9$ 处和在 $8$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

解题步骤 5.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $9$ 处和在 $8$ 处的值。

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $81$ 。

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 64 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.4

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{81}{2} - 64 (\frac{1}{2}) + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.5

组合 $- 64$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{81}{2} + \frac{- 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.6

约去 $- 64$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.6.1

从 $- 64$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{81}{2} + \frac{- 32}{1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.6.2.4

用 $- 32$ 除以 $1$ 。

$\frac{81}{2} - 32 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.7

要将 $- 32$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{81}{2} - 32 \cdot \frac{2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.8

组合 $- 32$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{81}{2} + \frac{- 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{81 - 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.10

化简分子。

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解题步骤 5.1.3.10.1

将 $- 32$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81 - 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.10.2

从 $81$ 中减去 $64$ 。

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

解题步骤 5.1.3.11

要将 $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.1.3.12

组合 $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{17}{2} + \frac{2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.1.3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{17 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.1.3.14

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{17 + 4 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))}{2}$

解题步骤 5.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{| 9 |}{| 8 |})}{2}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $9$ 之间的距离为 $9$ 。

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{| 8 |})}{2}$

解题步骤 5.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $8$ 之间的距离为 $8$ 。

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

小数形式：

$8.73556607 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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