微积分学示例

$\int 5 {(\sqrt{v^{2} + 8})}^{2} d v$

解题步骤 1

将 ${(\sqrt{v^{2} + 8})}^{2}$ 重写为 $v^{2} + 8$ 。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{v^{2} + 8}$ 重写成 ${(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 5 {({(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} d v$

解题步骤 1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} d v$

解题步骤 1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} d v$

解题步骤 1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} d v$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{1} d v$

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{1} d v$

解题步骤 1.5

化简。

$\int 5 (v^{2} + 8) d v$

$\int 5 (v^{2} + 8) d v$

解题步骤 2

乘以 $5 (v^{2} + 8)$ 。

$\int 5 v^{2} + 5 \cdot 8 d v$

解题步骤 3

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\int 5 v^{2} + 40 d v$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 v^{2} d v + \int 40 d v$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int v^{2} d v + \int 40 d v$

解题步骤 6

根据幂法则， $v^{2}$ 对 $v$ 的积分是 $\frac{1}{3} v^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + \int 40 d v$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + 40 v + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $v^{3}$ 。

$5 (\frac{v^{3}}{3} + C) + 40 v + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{5 v^{3}}{3} + 40 v + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{5}{3} v^{3} + 40 v + C$

$\frac{5}{3} v^{3} + 40 v + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$