微积分学示例

$\int \frac{4 (\cos (x))}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 2

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 3.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$4 (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $4 (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $4 (- \frac{1}{u}) + C$ 。

$4 (- \frac{1}{u}) + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \frac{1}{u} + C$

解题步骤 5.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{- 4}{u} + C$

解题步骤 5.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{u} + C$

解题步骤 6

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{4}{\sin (x)} + C$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

分离分数。

$- (\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) + C$

解题步骤 7.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$- (\frac{4}{1} \csc (x)) + C$

解题步骤 7.3

用 $4$ 除以 $1$ 。

$- 1 \cdot 4 \csc (x) + C$

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