微积分学示例

$\int_{4}^{9} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{- 3} d x$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{4}^{9} (x - x^{\frac{1}{2}}) x^{- 3} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int_{4}^{9} x \cdot x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

解题步骤 4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{4}^{9} x^{1} x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{4}^{9} x^{1 - 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

解题步骤 4.4

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

解题步骤 4.5

提取负因数。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}) d x$

解题步骤 4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3} d x$

解题步骤 4.7

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

解题步骤 4.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 4.9

在公分母上合并分子。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 4.10

化简分子。

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解题步骤 4.10.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 6}{2}} d x$

解题步骤 4.10.2

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{- 5}{2}} d x$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{4}^{9} x^{- 2} d x + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- x^{- 1}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} x^{- \frac{5}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ 。

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3}]_{4}^{9})$

解题步骤 10.1.2

将 $2$ 移到 $x^{- \frac{3}{2}}$ 的左侧。

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

解题步骤 10.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $9$ 处和在 $4$ 处的值。

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

解题步骤 10.2.2

计算 $- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ 在 $9$ 处和在 $4$ 处的值。

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3

化简。

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解题步骤 10.2.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{9} + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.3

要将 $- \frac{1}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.4

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 10.2.3.5.1

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.5.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.5.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.5.4

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 + 9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.7

将 $- 4$ 和 $9$ 相加。

$\frac{5}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.8

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.9

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.10.1

约去公因数。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.10.2

重写表达式。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.11

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 27} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.12

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.13

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 10.2.3.14

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

解题步骤 10.2.3.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.15.1

约去公因数。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

解题步骤 10.2.3.15.2

重写表达式。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{3}})$

解题步骤 10.2.3.16

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 8})$

解题步骤 10.2.3.17

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{24})$

解题步骤 10.2.3.18

约去 $2$ 和 $24$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.18.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 (1)}{24})$

解题步骤 10.2.3.18.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.18.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

解题步骤 10.2.3.18.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

解题步骤 10.2.3.18.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{1}{12})$

解题步骤 10.2.3.19

要将 $- \frac{2}{81}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12})$

解题步骤 10.2.3.20

要将 $\frac{1}{12}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

解题步骤 10.2.3.21

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $324$ 的形式。

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解题步骤 10.2.3.21.1

将 $\frac{2}{81}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{81 \cdot 4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

解题步骤 10.2.3.21.2

将 $81$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

解题步骤 10.2.3.21.3

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{12 \cdot 27})$

解题步骤 10.2.3.21.4

将 $12$ 乘以 $27$ 。

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{324})$

解题步骤 10.2.3.22

在公分母上合并分子。

$\frac{5}{36} - \frac{- 2 \cdot 4 + 27}{324}$

解题步骤 10.2.3.23

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.23.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5}{36} - \frac{- 8 + 27}{324}$

解题步骤 10.2.3.23.2

将 $- 8$ 和 $27$ 相加。

$\frac{5}{36} - \frac{19}{324}$

解题步骤 10.2.3.24

要将 $\frac{5}{36}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{5}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{324}$

解题步骤 10.2.3.25

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $324$ 的形式。

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解题步骤 10.2.3.25.1

将 $\frac{5}{36}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{5 \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{19}{324}$

解题步骤 10.2.3.25.2

将 $36$ 乘以 $9$ 。

$\frac{5 \cdot 9}{324} - \frac{19}{324}$

解题步骤 10.2.3.26

在公分母上合并分子。

$\frac{5 \cdot 9 - 19}{324}$

解题步骤 10.2.3.27

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.27.1

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$\frac{45 - 19}{324}$

解题步骤 10.2.3.27.2

从 $45$ 中减去 $19$ 。

$\frac{26}{324}$

解题步骤 10.2.3.28

约去 $26$ 和 $324$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.28.1

从 $26$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (13)}{324}$

解题步骤 10.2.3.28.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.28.2.1

从 $324$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

解题步骤 10.2.3.28.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

解题步骤 10.2.3.28.2.3

重写表达式。

$\frac{13}{162}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{13}{162}$

小数形式：

$0.08024691 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例