微积分学示例

$\int_{4}^{8} \frac{1}{t^{4}} d t$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $t^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{4}^{8} {(t^{4})}^{- 1} d t$

解题步骤 1.2

将 ${(t^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{4}^{8} t^{4 \cdot - 1} d t$

解题步骤 1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{4}^{8} t^{- 4} d t$

解题步骤 2

根据幂法则， $t^{- 4}$ 对 $t$ 的积分是 $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{3} t^{- 3}]_{4}^{8}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ 在 $8$ 处和在 $4$ 处的值。

$(- \frac{1}{3} \cdot 8^{- 3}) + \frac{1}{3} \cdot 4^{- 3}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 4^{- 3}$

解题步骤 3.2.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{512} + \frac{1}{3} \cdot 4^{- 3}$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{1}{512}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{512 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 4^{- 3}$

解题步骤 3.2.4

将 $512$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{1536} + \frac{1}{3} \cdot 4^{- 3}$

解题步骤 3.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{1536} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4^{3}}$

解题步骤 3.2.6

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1}{1536} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{64}$

解题步骤 3.2.7

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{64}$ 。

$- \frac{1}{1536} + \frac{1}{3 \cdot 64}$

解题步骤 3.2.8

将 $3$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{1}{1536} + \frac{1}{192}$

解题步骤 3.2.9

要将 $\frac{1}{192}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{1}{1536} + \frac{1}{192} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 3.2.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $1536$ 的形式。

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解题步骤 3.2.10.1

将 $\frac{1}{192}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{1}{1536} + \frac{8}{192 \cdot 8}$

解题步骤 3.2.10.2

将 $192$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{1}{1536} + \frac{8}{1536}$

解题步骤 3.2.11

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 8}{1536}$

解题步骤 3.2.12

将 $- 1$ 和 $8$ 相加。

$\frac{7}{1536}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7}{1536}$

小数形式：

$0.00455729 \dots$

解题步骤 5

微积分学 示例

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