微积分学示例

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16 x^{2} - 9}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{3}{4} \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ 为正数。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{16 {(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} - 9}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

对 $\frac{3 \sec (t)}{4}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.2.2

对 $3 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{16 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.1.5.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $9 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $9 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{{(\frac{3}{4} \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{{(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} (3 \tan (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 $3$ 移到 ${(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{3 {(\frac{3 \sec (t)}{4})}^{2} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $\frac{3 \sec (t)}{4}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{3 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.2.2

对 $3 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{3 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4^{2}} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{3 \frac{9 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{9 \sec^{2} (t)}{16}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3 (9 \sec^{2} (t))}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.3.4

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t)}{16} \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.3.5

组合 $\frac{27 \sec^{2} (t)}{16}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int \frac{1}{\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.3.6

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}{16}$ 。

$\int 1 \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.3.7

将 $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

解题步骤 2.2.3.8

将 $\frac{16}{27 \sec^{2} (t) \tan (t)}$ 乘以 $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{4}$ 。

$\int \frac{16 (3 \sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

解题步骤 2.2.3.9

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{27 \sec^{2} (t) \tan (t) \cdot 4} d t$

解题步骤 2.2.3.10

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$\int \frac{48 (\sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.3.11

约去 $48$ 和 $108$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.11.1

从 $48 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $12$ 。

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{108 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.11.2.1

从 $108 \sec^{2} (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $12$ 。

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.3.11.2.2

约去公因数。

$\int \frac{12 (4 \sec (t) \tan (t))}{12 (9 \sec^{2} (t) \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.3.11.2.3

重写表达式。

$\int \frac{4 \sec (t) \tan (t)}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.3.12

约去 $\sec (t)$ 和 $\sec^{2} (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.12.1

从 $4 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{9 \sec^{2} (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.12.2.1

从 $9 \sec^{2} (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.3.12.2.2

约去公因数。

$\int \frac{\sec (t) (4 \tan (t))}{\sec (t) (9 \sec (t) \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.3.12.2.3

重写表达式。

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.3.13

约去 $\tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.13.1

约去公因数。

$\int \frac{4 \tan (t)}{9 \sec (t) \tan (t)} d t$

解题步骤 2.2.3.13.2

重写表达式。

$\int \frac{4}{9 \sec (t)} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{4}{9}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{4}{9}$ 移到积分外。

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{4}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

解题步骤 4.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (t)}$ 。

$\frac{4}{9} \int 1 \cos (t) d t$

解题步骤 4.3

将 $\cos (t)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{9} \int \cos (t) d t$

解题步骤 5

$\cos (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\sin (t)$ 。

$\frac{4}{9} (\sin (t) + C)$

解题步骤 6

化简。

$\frac{4}{9} \sin (t) + C$

解题步骤 7

使用 $arcsec (\frac{4 x}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4 x}{3})) + C$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{4}{9} \sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) + C$

微积分学 示例

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