微积分学示例

$\int (3 x^{2} - 1) \cos (2 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 3 x^{2} - 1$ ， $d v = \cos (2 x)$ 。

$(3 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (6 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (6 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} (6 x) d x$

解题步骤 2.3

组合 $6$ 和 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{6 \sin (2 x)}{2} x d x$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{6 \sin (2 x)}{2}$ 和 $x$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{6 \sin (2 x) x}{2} d x$

解题步骤 2.5

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $6 \sin (2 x) x$ 中分解出因数 $2$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2} d x$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2 (1)} d x$

解题步骤 2.5.2.2

约去公因数。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2 \cdot 1} d x$

解题步骤 2.5.2.3

重写表达式。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{3 \sin (2 x) x}{1} d x$

解题步骤 2.5.2.4

用 $3 \sin (2 x) x$ 除以 $1$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int 3 \sin (2 x) x d x$

解题步骤 3

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - (3 \int \sin (2 x) x d x)$

解题步骤 4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 \int \sin (2 x) x d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (2 x)$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 8.2

将 $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ 乘以 $1$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 10

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 11

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 14

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将 $(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ 重写为 $\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ 。

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2

化简。

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解题步骤 15.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (u)$ 。

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

解题步骤 15.2.2

要将 $- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 15.2.3

组合 $- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} + \frac{- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 15.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 15.2.5

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 16

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

化简分子。

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解题步骤 17.1.1

从 $x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 17.1.1.1

从 $x^{2} (3 \sin (2 x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x))) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.1.2

从 $- 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x))) + 3 (- 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.1.3

从 $3 (x^{2} (\sin (2 x))) + 3 (- 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.2

运用分配律。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2}) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.3.1

将 $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 2 (- 1) \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.3.3

约去公因数。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 2 \cdot - 1 \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.3.4

重写表达式。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 1 (- x \cos (2 x)) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 1 (x \cos (2 x)) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.6.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 (- 1) \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.6.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.6.3

约去公因数。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.6.4

重写表达式。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - 1 \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.7

将 $- 1 \frac{\sin (2 x)}{2}$ 重写为 $- \frac{\sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.8

要将 $x^{2} (\sin (2 x))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (x \cos (2 x) + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.9

组合 $x^{2} (\sin (2 x))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (x \cos (2 x) + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.10

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (x \cos (2 x) + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.11

要将 $x \cos (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (x \cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.12

组合 $x \cos (2 x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (\frac{x \cos (2 x) \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.13

在公分母上合并分子。

$\frac{3 \frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.14

以因式分解的形式重写 $\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}$ 。

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解题步骤 17.1.14.1

将 $2$ 移到 $x \cos (2 x)$ 的左侧。

$\frac{3 \frac{2 \cdot (x \cos (2 x)) + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.1.14.2

将 $2$ 移到 $x^{2} (\sin (2 x))$ 的左侧。

$\frac{3 \frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.2

组合 $3$ 和 $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}$ 。

$\frac{\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.4

合并。

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2 \cdot 2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{4} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 17.7

重新排序项。

$\frac{3}{4} (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) - \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

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