微积分学示例

$\int_{1}^{16} x^{- (\frac{11}{4})} d x$

解题步骤 1

根据幂法则， $x^{- \frac{11}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{4}{7} x^{- \frac{7}{4}}$ 。

$- \frac{4}{7} x^{- \frac{7}{4}}]_{1}^{16}$

解题步骤 2

代入并化简。

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解题步骤 2.1

计算 $- \frac{4}{7} x^{- \frac{7}{4}}$ 在 $16$ 处和在 $1$ 处的值。

$(- \frac{4}{7} \cdot 16^{- \frac{7}{4}}) + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{16^{\frac{7}{4}}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.2

将 $16$ 重写为 $2^{4}$ 。

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{{(2^{4})}^{\frac{7}{4}}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2^{4 (\frac{7}{4})}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2^{4 (\frac{7}{4})}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2^{7}} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.5

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$- \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{128} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{1}{128}$ 乘以 $\frac{4}{7}$ 。

$- \frac{4}{128 \cdot 7} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.7

将 $128$ 乘以 $7$ 。

$- \frac{4}{896} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.8

约去 $4$ 和 $896$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 (1)}{896} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.8.2.1

从 $896$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 224} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.8.2.2

约去公因数。

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 224} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.8.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{224} + \frac{4}{7} \cdot 1^{- \frac{7}{4}}$

解题步骤 2.2.9

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{224} + \frac{4}{7} \cdot 1$

解题步骤 2.2.10

将 $\frac{4}{7}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{224} + \frac{4}{7}$

解题步骤 2.2.11

要将 $\frac{4}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$- \frac{1}{224} + \frac{4}{7} \cdot \frac{32}{32}$

解题步骤 2.2.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $224$ 的形式。

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解题步骤 2.2.12.1

将 $\frac{4}{7}$ 乘以 $\frac{32}{32}$ 。

$- \frac{1}{224} + \frac{4 \cdot 32}{7 \cdot 32}$

解题步骤 2.2.12.2

将 $7$ 乘以 $32$ 。

$- \frac{1}{224} + \frac{4 \cdot 32}{224}$

解题步骤 2.2.13

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 4 \cdot 32}{224}$

解题步骤 2.2.14

化简分子。

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解题步骤 2.2.14.1

将 $4$ 乘以 $32$ 。

$\frac{- 1 + 128}{224}$

解题步骤 2.2.14.2

将 $- 1$ 和 $128$ 相加。

$\frac{127}{224}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{127}{224}$

小数形式：

$0.56696428 \dots$

解题步骤 4

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