微积分学示例

$\int_{1}^{9} x - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{9} x d x + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 4.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{9} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

解题步骤 6.2

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $81$ 。

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{81 - 1}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.6

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$\frac{80}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.7

约去 $80$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.7.1

从 $80$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 40}{2} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 40}{2 (1)} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{40}{1} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.7.2.4

用 $40$ 除以 $1$ 。

$40 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.8

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$40 - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.9

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.10.1

约去公因数。

$40 - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.10.2

重写表达式。

$40 - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.11

计算指数。

$40 - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.12

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$40 - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.13

一的任意次幂都为一。

$40 - (6 - 2 \cdot 1)$

解题步骤 6.3.14

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$40 - (6 - 2)$

解题步骤 6.3.15

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$40 - 1 \cdot 4$

解题步骤 6.3.16

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$40 - 4$

解题步骤 6.3.17

从 $40$ 中减去 $4$ 。

$36$

解题步骤 7

微积分学 示例

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