微积分学示例

$\int 6 x^{3} {(1 + x^{8})}^{- 1} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\int 6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}} d x$

解题步骤 1.2

乘以 $6 x^{3} \frac{1}{1 + x^{8}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{1 + x^{8}}$ 。

$\int x^{3} \frac{6}{1 + x^{8}} d x$

解题步骤 1.2.2

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{6}{1 + x^{8}}$ 。

$\int \frac{x^{3} \cdot 6}{1 + x^{8}} d x$

解题步骤 1.3

将 $6$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\int \frac{6 x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

解题步骤 2

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

解题步骤 3

将 $x^{8}$ 重写为 ${(x^{4})}^{2}$ 。

$6 \int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

解题步骤 4

使 $u = x^{4}$ 。然后使 $d u = 4 x^{3} d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = x^{4}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x^{4}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3}$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$6 \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$6 \int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

解题步骤 5.2

将 $4$ 移到 $1 + u^{2}$ 的左侧。

$6 \int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u)$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $6$ 。

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 7.1.2

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 7.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 7.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

解题步骤 7.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

解题步骤 8

$\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arctan (u) + C$ 。

$\frac{3}{2} (\arctan (u) + C)$

解题步骤 9

化简。

$\frac{3}{2} \arctan (u) + C$

解题步骤 10

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} \arctan (x^{4}) + C$

微积分学 示例

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