微积分学 示例

计算积分 (y-2)/(y^2+2y-3) 对 y 的积分
解题步骤 1
用部分分式分解写出分数。
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解题步骤 1.1
分解分数并乘以公分母。
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解题步骤 1.1.1
使用 AC 法来对 进行因式分解。
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解题步骤 1.1.1.1
思考一下 这种形式。找出一对整数,其积为 ,且和为 。在本例中,其积即为 ,和为
解题步骤 1.1.1.2
使用这些整数书写分数形式。
解题步骤 1.1.2
对于分母中的每一个因式,使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的,在它的位置 上放置单个变量 。
解题步骤 1.1.3
对于分母中的每一个因式,使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的,在它的位置 上放置单个变量 。
解题步骤 1.1.4
将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中,分母为
解题步骤 1.1.5
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.5.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.5.2
重写表达式。
解题步骤 1.1.6
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.6.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.6.2
除以
解题步骤 1.1.7
化简每一项。
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解题步骤 1.1.7.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.7.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.7.1.2
除以
解题步骤 1.1.7.2
运用分配律。
解题步骤 1.1.7.3
移到 的左侧。
解题步骤 1.1.7.4
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.7.4.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.7.4.2
除以
解题步骤 1.1.7.5
运用分配律。
解题步骤 1.1.7.6
移到 的左侧。
解题步骤 1.1.7.7
重写为
解题步骤 1.1.8
移动
解题步骤 1.2
为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。
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解题步骤 1.2.1
使方程两边 的系数相等,从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立,等式两边的相应系数必须相等。
解题步骤 1.2.2
使方程两边不含 的各项系数相等,从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立,等式两边的相应系数必须相等。
解题步骤 1.2.3
建立方程组以求部分分式的系数。
解题步骤 1.3
求解方程组。
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解题步骤 1.3.1
中求解
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解题步骤 1.3.1.1
将方程重写为
解题步骤 1.3.1.2
从等式两边同时减去
解题步骤 1.3.2
将每个方程中所有出现的 替换成
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解题步骤 1.3.2.1
使用 替换 中所有出现的 .
解题步骤 1.3.2.2
化简右边。
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解题步骤 1.3.2.2.1
化简
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解题步骤 1.3.2.2.1.1
化简每一项。
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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1
运用分配律。
解题步骤 1.3.2.2.1.1.2
乘以
解题步骤 1.3.2.2.1.1.3
乘以
解题步骤 1.3.2.2.1.1.4
重写为
解题步骤 1.3.2.2.1.2
中减去
解题步骤 1.3.3
中求解
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解题步骤 1.3.3.1
将方程重写为
解题步骤 1.3.3.2
将所有不包含 的项移到等式右边。
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解题步骤 1.3.3.2.1
从等式两边同时减去
解题步骤 1.3.3.2.2
中减去
解题步骤 1.3.3.3
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 1.3.3.3.1
中的每一项都除以
解题步骤 1.3.3.3.2
化简左边。
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解题步骤 1.3.3.3.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.3.3.3.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.3.3.3.2.1.2
除以
解题步骤 1.3.3.3.3
化简右边。
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解题步骤 1.3.3.3.3.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 1.3.4
将每个方程中所有出现的 替换成
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解题步骤 1.3.4.1
使用 替换 中所有出现的 .
解题步骤 1.3.4.2
化简右边。
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解题步骤 1.3.4.2.1
化简
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解题步骤 1.3.4.2.1.1
写成具有公分母的分数。
解题步骤 1.3.4.2.1.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.3.4.2.1.3
中减去
解题步骤 1.3.4.2.1.4
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.3.5
列出所有解。
解题步骤 1.4
中的每个部分分式的系数替换为求得的 的值。
解题步骤 1.5
化简。
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解题步骤 1.5.1
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 1.5.2
乘以
解题步骤 1.5.3
移到 的左侧。
解题步骤 1.5.4
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 1.5.5
乘以
解题步骤 2
将单个积分拆分为多个积分。
解题步骤 3
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 4
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 5
使 。然后使 。使用 进行重写。
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解题步骤 5.1
。求
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解题步骤 5.1.1
求导。
解题步骤 5.1.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 5.1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 5.1.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 5.1.5
相加。
解题步骤 5.2
使用 重写该问题。
解题步骤 6
的积分为
解题步骤 7
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 8
使 。然后使 。使用 进行重写。
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解题步骤 8.1
。求
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解题步骤 8.1.1
求导。
解题步骤 8.1.2
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 8.1.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 8.1.4
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 8.1.5
相加。
解题步骤 8.2
使用 重写该问题。
解题步骤 9
的积分为
解题步骤 10
化简。
解题步骤 11
代回替换每一个积分法替换变量。
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解题步骤 11.1
使用 替换所有出现的
解题步骤 11.2
使用 替换所有出现的