微积分学示例

$\int \sqrt{x} (6 - x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 6 - x$ ， $d v = \sqrt{x}$ 。

$(6 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d x$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 1 d x$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $- 1$ 。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{3} d x$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

解题步骤 2.5

将负号移到分数的前面。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

解题步骤 4.2

将 $\int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$ 乘以 $1$ 。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $(6 - x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

解题步骤 7.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

解题步骤 7.2.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 7.2.5

要将 $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 7.2.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 7.2.6.1

将 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 7.2.6.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 7.2.7

在公分母上合并分子。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 7.2.8

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 10 x^{\frac{5}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 7.2.9

将 $- 10 x^{\frac{5}{2}}$ 和 $4 x^{\frac{5}{2}}$ 相加。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 7.2.10

从 $- 6 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

解题步骤 7.2.11

约去公因数。

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解题步骤 7.2.11.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (5)} + C$

解题步骤 7.2.11.2

约去公因数。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + C$

解题步骤 7.2.11.3

重写表达式。

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 7.2.12

将负号移到分数的前面。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

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