微积分学示例

$\int 12 \sqrt[3]{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 1

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int \sqrt[3]{\cos (x)} \sin (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$12 \int - \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$12 (- \int \sqrt[3]{u} d u)$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$- 12 \int \sqrt[3]{u} d u$

解题步骤 4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$- 12 \int u^{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$- 12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 12 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ 重写为 $- 12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$ 。

$- 12 (\frac{3}{4}) u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $- 12$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{- 12 \cdot 3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 36}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3

约去 $- 36$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 9}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 9}{4 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 9}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3.2.4

用 $- 9$ 除以 $1$ 。

$- 9 u^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 7

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 9 {\cos (x)}^{\frac{4}{3}} + C$

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